最后更新: 2025-08-25 23:20 查看: 489 次反馈同步训练

向量的内积、长度

## 向量的内积
在[向量空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=238) 里介绍了向量的加法和数乘等基本概念。而未顾及几何上的特性，例如长度和角度等概念．内积的概念就蕴含了这些几何层面的想法，它是我们本章研究的主题．

每种内积都可诱导出一种**范数**（你可以把范数看成长度）．范数满足一些重要的性质，例如毕达哥拉斯定理、三角不等式、平行四边形等式和柯西-施瓦兹不等式．在讨论内积空间时，我们将欧几里得几何中的垂直向量这一概念，重命名为正交向量．我们将看到，规范正交基在内积空间中非常有用．格拉姆-施密特过程可构造出这样的基．本章结尾处，我们将综合运用上述工具来解决最小化问题．

### 向量的内积的定义

设有 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right), \boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{l}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{array}\right), \quad$ 令 $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}=x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n$, 称 $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$ 为向量 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{y}$ 的内积.

注：向量内积就是对应坐标相乘后，再详加。另外，也向量内积也可以记做 $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$， 不同教程，记法略有差别

内积的性质 (其中 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 与 $\boldsymbol{z}$ 都是 $n$ 维列向量， $\lambda$ 为实数):

(i) $[x, y]=[y, x]$;
(ii) $[\lambda x, y]=\lambda[x, y]=[x, \lambda y]$;
(iii) $[x+y, z]=[x, z]+[y, z]$;
(iv) $[x, x] \geq 0$ ，当且仅当 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 时， $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}]=0$.
利用这些性质，还可以证明著名的柯西-施瓦茨  不等式

$$
[x, y]^2 \leq[x, x][y, y] .
$$

## 向量内积的几何意义
两个向量$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ 如果把他们的值看成空间里的坐标，则向量内积的定义就是他们对应坐标值相乘，或许我们为什么要问一下：为什么要这么定义他的内积呢？**向量的内积本质上表示的是一个向量在另外一个向量上的投影**。

我们以二维为例，通常认为，向量内积表示的一个向量在另外一个向量上的投影  ， 详见[高中向量内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167) 这样，两个向量的乘法就变成：(这里|a|表示向量a的模长，|b|表示向量b的模长)

$$
 \boxed{
 a \cdot b =|a| |b| cos \theta ...① 
 }
 $$

![img-text](/uploads/2022-10/1fb332.jpg)

另一方面，假设每个向量用坐标轴表示
 
  ![图片](/uploads/2025-08/adb9f5.jpg){width=300px}

给定两个坐标表示的向量 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right)$ 与 $\vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$ ，它们的数量积是

$$
\begin{aligned}
\vec{a} \cdot \vec{b} & =\left(x_1 \vec{i}+y_1 \vec{j}\right) \cdot\left(x_2 \vec{i}+y_2 \vec{j}\right) \\
& =\left(x_1 x_2\right) \vec{i}^2+\left(x_1 y_2+x_2 y_1\right) \vec{i} \cdot \vec{j}+y_1 y_2 \vec{j}^2
\end{aligned}
$$

因为 $\vec{i} 、 \vec{j}$ 是互相垂直的单位向量，所以 $\vec{i}^2=1, \vec{i} \cdot \vec{j}=0$ ， $\vec{j}^2=1$ ，于是

$$
 \boxed{
\vec{a} \cdot \vec{b}=x_1 x_2+y_1 y_2  ...②
}
$$

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

这样，我们看到两个向量的内积：

> **本质上是一个向量在另外一个向量上的投影，而他的计算方式可以直接用对应坐标值相乘后再相加。**

把这个思想推广到$n$维，就是上面的定义。

`例`

$$
\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right),
\boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\  3  \end{array}\right)
$$

根据定义，容易得到
$[x,y]=-1*1+2*0+3*3=8$

### 向量的长度
设有 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$, $\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$, 称 $\|\boldsymbol{x}\|$ 为向量 $\boldsymbol{x}$ 的长度（或范数）.

`例` 已知向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) $ 求其长度。
 解：如下图，根据空间坐标系知道$u(-1,2,3)$， 根据勾股定理可以得到
 $||x||=\sqrt{(-1)^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$
 
  ![图片](/uploads/2024-12/295703.jpg)
 
 
 
向量的长度具有下述性质：
(i) 非负性 当 $x \neq 0$ 时， $\|x\|>0$ ；当 $x=0$ 时， $\|x\|=0$;
(ii) 齐次性 $\|\lambda x|=| \lambda \mid \cdot\| x \|$;
(iii) 三角不等式 $\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$.
证明: (i)与(ii)是显然的，下面证明(iii). 因为 $\|x+y\|^2=[x+y, x+y]=[x, x]+2[x, y]+[y, y]$, 由施瓦茨不等式，有 $[x, y] \leq \sqrt{[x, x][y, y]}$,
从而 $\quad\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2 \leq[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}]+2 \sqrt{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}][\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}]}+[\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}]=\|\boldsymbol{x}\|^2+2\|\boldsymbol{x}\| \boldsymbol{y}\|+\| \boldsymbol{y} \|^2=\left(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|^2\right.$, 即 $\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\| \leq\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|$.

### 向量的单位化
当 $\|x\|=1$ 时，称 $\boldsymbol{x}$ 为单位向量. 如果 $\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$ ，取 $\beta=\frac{\alpha}{\|\alpha\|}$ ，则 $\beta$ 是一个单位向量.
由向量 $\alpha$ 得到单位向量 $\beta$ 的过程称为把向量 $\alpha$ 单位化.

`例`已知向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) $，求其单位化。
解：由上面例题知道$x$的长度为$\sqrt{14}$， 所以，单位化后，向量为
$\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{\sqrt{14}} \\ \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{14}} \end{array}\right) $

### 向量的夹角

由上面①②定义可以，①等于②，因此
$$
 cos \theta = x_1 x_2+y_1 y_2
$$

所以，
$$
cos \theta = \dfrac{ x_1 x_2+y_1 y_2 }{ |a| |b| }
$$

当 $x \neq 0, y \neq 0$ 时，

$$
\theta=\arccos \frac{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]}{\|\boldsymbol{x}\| \boldsymbol{y} \|}
$$

称为 $n$ 维向量$ \boldsymbol{x} $ 与 $\boldsymbol{y}$ 的夹角

当 $[x, y]=0$ 时，称向量 $x$ 与 $y$ 正交.

显然，若 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ ，则 $\boldsymbol{x}$ 与任何向量都正交.
`例` 已知向量
$$
\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)

其他版本
【高等数学】数量积(点积)【高中数学】柯西不等式及其几何意义【数学分析】柯西Cauchy 不等式【高等数学】空间向量与空间坐标系

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