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充要条件
日期:
2023-08-21 07:58
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### 充要条件 在逻辑学中使用充分必要条件表示命题的逻辑关系。 **充分条件** 有 $A$ 就一定有 $B$ ,则 $A$ 是 $B$ 的充分条件(A=>B); 充分条件类似日常生活中的“如果...就...” 例如1 A: $x=y$, B: $x^2=y^2$ 如果$x=y$ ,则必有 $x^2=y^2$。 例如2:A: 下雨。 B:地湿。 如果下雨,那么地湿。 那么就说下雨是地湿的充分条件。 **必要条件** 无 $A$ 就一定无 $B$ ,则 $A$ 是 $B$ 的必要条件 (B=>A); 必要条件类似日常生活中的“只有...才...” 例如3 A:$x^2=y^2$ B:$x=y$ 只有 $x^2=y^2$,才可能会有 $x=y$ , 或者说,如果 $x^2 \ne y^2$,一定不会有 $x \ne y$ 所以 $x^2=y^2$ 是 $x=y$ 的必要条件。 (x为负数,y为正数时,不能推出x=y) 例如4:A:下雨 。 B:地湿。 如果不下雨,地面一定不会湿。这个说法显然是错误的,因为泼水也可以让地湿。 所以由B推导不出A,我们就说说地湿不是下雨的必要条件。 **充要条件** 有 $A$ 就一定有 $B$ ,无 $A$ 就一定无 $B$ ,则 $A$ 是 $B$ 的充要条件。 例如 A: $x=y$, B: $x^3=y^3$ 如果$x=y$ 则必有 $x^3=y^3$, 同样,如果 $x^3=y^3$ 则必有 $x=y$,此时称A是B的充分必要条件。 $P: x=1$ $ Q: x^2=1$ $P$ 是 $Q$ 的充分条件而不是必要条件 (没有 $x=1$, 当 $x=-1, x^{\wedge} 2=1$ ) $Q$ 是 $P$ 的必要条件,没有 $x^2=1$, 就一定没有 $x=1$ ### 集合观点 1. 充分/必要条件是两个命题之间的关系,若直说一个命题是充分/必要条件没有意义。 2. 讨论充分/必要条件需要在一定的前提下进行。 3. 在证明 $A$ 是 $B$ 的充分必要条件时,需要分别证明 $A$ (相对于 $B$ ) 的充分性和必要性。充分性需要由 $A$ 证明 $B$ ,必要性需要由 $B$ 证明 $A$ 。 4. 在证明 $A$ 是 $B$ 的充分非必要条件时,除了需要证明 $A$ 的充分性,还需非必要性,即 $B$ 不能推出 $A$ 。只要我们可 以举出一个 $B$ 成立 $A$ 不成立的反例,就立刻证明了不可能由 $B$ 推出 $A$ 。 ①$A$ 推出 $B , B$ 推不出 $A$ ,则为充分不必要,如图  ②. $A$ 推出 $B , B$ 推出 $A$ ,则为充要,如图:  ③$A$ 推不出 $B , B$ 推不出 $A$ ,则既不充分也不必要,如图:  ④$A$ 推不出 $B , B$ 推出 $A$ ,则必要不充分,如图  ### 记忆技巧 由A可以推导B,就是充分条件。 由B可以推导A,就是必要条件。 **例1** :设 $x \in \mathbf{R}$ ,则“ $|x-2|<1$ "是“3 $3^x<27$ ”的(). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 $\mathrm{A}$ 解析 $$ \begin{aligned} & \because|x-2|<1, \\ & \therefore-1<x-2<1, \\ & \therefore 1<x<3, \\ & \because 3^x<27, \\ & \therefore x<3, \\ & \because\{x \mid 1<x<3\} \text { 是 }\{x \mid x<3\} \text { 的真子集, } \\ & \therefore|x-2|<1 \text { " 是“ } 3^x<27^{\prime \prime} \text { 的充分不必要条件. } \end{aligned} $$ 故选A. **例2** :“ $x<1$ ”是 $3^x<1$ ”的(). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不重要条件 答案 B. 解析 由 $3^x<1=3^0$ ,解得 $x<0$ , $\therefore x<1$ "是 “ $3^x<1$ "的必要不充分条件, 故选: B. **例3** :已知集合 $A=\{1 , a\} , B=\{1 , 2 , 3\}$ ,则“ $a=3$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:A. **例4** :已知集合 $A=\left\{x \mid x=m^2-n^2, m 、 n \in \mathbf{Z}\right\}$. (1)判断 $8 , 9 , 10$ 是否属于集合 $A$; (2)已知集合 $B=\{x \mid x=2 k+1, k \in \mathbf{Z}\}$ ,证明: “ $x \in A$ ”的充分非必要条件是“ $x \in B$ ”; (3)写出所有满足集合 $A$ 的偶数. 答案 (1) $8 , 9$ 属于集合 $A, 10$ 不集合 $A$. (2)证明见解析. (3)所有满足集合 $A$ 的偶数为 $4 k , k \in \mathbf{Z}$. 解析 (1) $: 8=3^2-1 , 9=5^2-4^2 , \therefore 8 \in A , 9 \in A$ , 假设 $10=m^2-n^2 , m, n \in \mathbf{Z}$ ,则 $(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10$ ,且 $|m|+|n|>|m|-|n|>0$ , $$ \begin{aligned} & \because 10=1 \times 10=2 \times 5, \\ & \therefore\left\{\begin{array} { l } { | m | + | n | = 1 0 } \\ { | m | - | n | = 1 } \end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l} |m|+|n|=5 \\ |m|-|n|=2^{\prime} \end{array}\right.\right. \end{aligned} $$ 显然均无整数解, $$ \therefore 8 \in A, 9 \in A, 10 \notin A \text {, } $$ (2): 集合 $B=\{x \mid x=2 k+1, k \in \mathbf{Z}\}$ ,则恒有 $2 k+1=(k+1)^2-k^2$ , $$ \therefore 2 k+1 \in A \text { , } $$ $\therefore$ 即一切奇数都属于 $A$ , 又 $\because 8 \in A$ , $\therefore x \in A$ "的充分非必要条件是“ $x \in B$. (3)集合 $A=\left\{x \mid x=m^2-n^2, m 、 n \in \mathbf{Z}\right\} , m^2-n^2=(m+n)(m-n)$ 成立, (1)当 $m , n$ 同奇或同偶时, $m-n, m+n$ 均为偶数, $(m+n)(m-n)$ 为 4 的倍数, (2)当 $m , n$ - 奇,一偶时, $m-n, m+n$ 均为奇数, $\therefore(m+n)(m-n)$ 为奇数, 综上所有满足集合 $A$ 的偶数为 $4 k, k \in \mathbf{Z}$. **例5:** 知集合 $A=\left\{x \mid x^2-(3+a) x+3 a \leqslant 0\right\}, B=\left\{x \mid \frac{x-2}{x-1}<0\right\}$. 1)若 $a=1$ ,求 $A \cap\left(\complement_{\mathbf{R}} B\right)$. 2)已知命题 $p: x \in A$ ,命题 $q: x \in B$ ,若命题 $p$ 的充分不必要条件是命题 $q$ ,求实数 $a$ 的取值范围. 3)求不等式 $x^2-(3+a) x+3 a \leqslant 0$ 的解集. (1)当 $a=1$ 时,集合 $A=\left\{x \mid x^2-4 x+3 \leqslant 0\right\}$ , $\because$ 对于不等式 $x^2-4 x+3 \leqslant 0$ , 解得: $1 \leqslant x \leqslant 3$ , $\therefore$ 集合 $A=\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 3\}$ , $\because$ 对于不等式 $\frac{x-2}{x-1}<0$ ,解得: $1<x<2$ , $\therefore$ 集合 $B=\{x \mid 1<x<2\}$ , $\therefore \complement_{\mathrm{R}} B=\{x \mid x \leqslant 1$ 或 $x \geqslant 2\}$ , $\therefore A \cap\left(\complement_R B\right)=\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 3$ 或 $x=1\}$. (2)对于不等式 $x^2-(3+a) x+3 a \leqslant 0 \Rightarrow(x-3)(x-a) \leqslant 0$ , (1) $a>3$ 时,不等式解为 $3 \leqslant x \leqslant a$ ; (2) $a=3$ 时,不等式解为 $x=3$ ; (3) $a<3$ 时,不等式解为 $a \leqslant x \leqslant 3$ , 由 (1) 可得集合 $B=\{x \mid 1<x<2\}$ , $\because$ 命题 $q$ 是命题 $p$ 的充分不必要条件, $\therefore B \subseteq A$, ¡ 当 $a>3$ 时, $A=[3, a]$ ,与 $B \subseteq A$ 矛盾; $\mathrm{ii}$ 当 $a=3$ 时, $A=\{3\}$ ,与 $B \subseteq A$ 矛盾; iii 当 $a<3$ 时, $A=[a, 3]$ ,则 $a \leqslant 1$ , 综上所述,实数 $a$ 的取值范围为 $(-\infty, 1]$. (3)不等式 $x^2-(3+a) x+3 a \leqslant 0 \Rightarrow(x-3)(x-a) \leqslant 0$ , (1)当 $a>3$ 时,不等式解为 $[3, a]$ ; (2)当 $a=3$ 时,不等式解为 $\{3\}$ ; (3)当 $a<3$ 时,不等式解为 $[a, 3]$ , 综上所述,当 $a>3$ 时,不等式解为 $[3, a]$ ; 当 $a=3$ 时,不等式解为 $\{3\}$ ; 当 $a<3$ 时,不等式解为 $[a, 3]$.
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