最后更新: 2025-04-29 20:23 查看: 400 次反馈刷题

向量的内积、长度

## 向量的内积
在[向量空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=238) 里介绍了向量的加法和数乘等基本概念。而未顾及几何上的特性，例如长度和角度等概念．内积的概念就蕴含了这些几何层面的想法，它是我们本章研究的主题．

每种内积都可诱导出一种**范数**（你可以把范数看成长度）．范数满足一些重要的性质，例如毕达哥拉斯定理、三角不等式、平行四边形等式和柯西-施瓦兹不等式．在讨论内积空间时，我们将欧几里得几何中的垂直向量这一概念，重命名为正交向量．我们将看到，规范正交基在内积空间中非常有用．格拉姆-施密特过程可构造出这样的基．本章结尾处，我们将综合运用上述工具来解决最小化问题．

### 向量的内积

设有 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right), \boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{l}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{array}\right), \quad$ 令 $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}=x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n$, 称 $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$ 为向量 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{y}$ 的内积.

内积的性质 (其中 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 与 $\boldsymbol{z}$ 都是 $n$ 维列向量， $\lambda$ 为实数):

(i) $[x, y]=[y, x]$;
(ii) $[\lambda x, y]=\lambda[x, y]=[x, \lambda y]$;
(iii) $[x+y, z]=[x, z]+[y, z]$;
(iv) $[x, x] \geq 0$ ，当且仅当 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 时， $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}]=0$.
利用这些性质，还可以证明著名的柯西-施瓦茨  不等式

$$
[x, y]^2 \leq[x, x][y, y] .
$$

`例`

$$
\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right),
\boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\  3  \end{array}\right)
$$

根据定义，容易得到
$[x,y]=-1*1+2*0+3*3=8$

### 向量的长度
设有 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$, $\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$, 称 $\|\boldsymbol{x}\|$ 为向量 $\boldsymbol{x}$ 的长度（或范数）.

`例` 已知向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) $ 求其长度。
 解：如下图，根据空间坐标系知道$u(-1,2,3)$， 根据勾股定理可以得到
 $||x||=\sqrt{(-1)^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$
 
  ![图片](/uploads/2024-12/295703.jpg)
 
 
 
向量的长度具有下述性质：
(i) 非负性 当 $x \neq 0$ 时， $\|x\|>0$ ；当 $x=0$ 时， $\|x\|=0$;
(ii) 齐次性 $\|\lambda x|=| \lambda \mid \cdot\| x \|$;
(iii) 三角不等式 $\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$.
证明: (i)与(ii)是显然的，下面证明(iii). 因为 $\|x+y\|^2=[x+y, x+y]=[x, x]+2[x, y]+[y, y]$, 由施瓦茨不等式，有 $[x, y] \leq \sqrt{[x, x][y, y]}$,
从而 $\quad\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2 \leq[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}]+2 \sqrt{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}][\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}]}+[\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}]=\|\boldsymbol{x}\|^2+2\|\boldsymbol{x}\| \boldsymbol{y}\|+\| \boldsymbol{y} \|^2=\left(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|^2\right.$, 即 $\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\| \leq\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|$.

### 向量的单位化
当 $\|x\|=1$ 时，称 $\boldsymbol{x}$ 为单位向量. 如果 $\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$ ，取 $\beta=\frac{\alpha}{\|\alpha\|}$ ，则 $\beta$ 是一个单位向量.
由向量 $\alpha$ 得到单位向量 $\beta$ 的过程称为把向量 $\alpha$ 单位化.

`例`已知向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) $，求其单位化。
解：由上面例题知道$x$的长度为$\sqrt{14}$， 所以，单位化后，向量为
$\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{\sqrt{14}} \\ \frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{14}} \end{array}\right) $

### 向量的夹角
当 $x \neq 0, y \neq 0$ 时，

$$
\theta=\arccos \frac{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]}{\|\boldsymbol{x}\| \boldsymbol{y} \|}
$$

称为 $n$ 维向量$ \boldsymbol{x} $ 与 $\boldsymbol{y}$ 的夹角

当 $[x, y]=0$ 时，称向量 $x$ 与 $y$ 正交.

显然，若 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ ，则 $\boldsymbol{x}$ 与任何向量都正交.
`例` 已知向量
$$
\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right),
\boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\  3  \end{array}\right)
$$ 
，求其夹角
解：
  ![图片](/uploads/2024-12/295703.jpg)
$||x||$=$\sqrt{(-1)^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$
$||y||$=$\sqrt{(1)^2+0^2+3^2}=\sqrt{10}$
$[[x,y]=-1*1+2*0+3*3=8$

所以夹角 $ \theta=\arccos \frac{8}{14*10}=\arccos \frac{2}{35}$

## 向量内积的两种定义

**定义一**：通常认为，向量内积表示的一个向量在另外一个向量上的投影  ， 详见[高中向量内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167) 这样，两个向量的乘法就变成：
 $a \cdot b =|a| |b| cos \theta ...① $
 
**定义二**：向量的坐标表示法, 详见 [平面向量的坐标表示](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1342)
  
 
 $$
 \vec{a}=\{x_1,y_1\}, \vec{b}=\{x_2,y_2\}
 $$
 那么，向量的内积就是
 $a \cdot b = x_1 x_2 +y_1y_2 ...② $
 
 因为，① ②本质相等，所以
 $$
 |a| |b| cos \theta =x_1 x_2 +y_1y_2
 $$
 这种方法，给出了求两个向量夹角的余弦
 
 $$
  cos \theta =  \frac{x_1 x_2 +y_1+y_2 }{ |a| |b|}
 $$
 
 进而可以求出两个向量的夹角。
 
 > 这种方法可以推广到N维空间

`例` 已知 $\boldsymbol{a}=(3,-1), \boldsymbol{b}=(1,-2)$, 求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$.
解 由题意可知

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=(3,-1) \cdot(1,-2)=3 \times 1+(-1) \times(-2)=5, \\
& |\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}, \\
& |\boldsymbol{b}|=\sqrt{\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b}}=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5} .
\end{aligned}
$$

又因为

$$
\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

所以 两个向量的夹角为 $\langle a, b\rangle= \frac{\pi}{4}$

## 方向角与方向角余弦
设 $\boldsymbol{a}$ 为任意一个向量，又设 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 为与三坐标轴正向之间的夹角 $(0 \leq \alpha, \beta, \gamma<\pi)$ ，如图 5-22 所示， $\alpha ， \beta ， \gamma$ 分别为向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向角. 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有

$$
a_x=|\boldsymbol{a}| \cos \alpha, \quad a_y=|\boldsymbol{a}| \cos \beta ， \quad a_z=|\boldsymbol{a}| \cos \gamma,
$$

其中 $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的**方向余弦**，通常用它表示向量的方向.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212301d2a95f.png)

由模的定义，可知向量 $a$ 的模为

$$
|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} .
$$

或 
$\cos \alpha=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}} ...①, \cos \beta=\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}...②, \cos \gamma=\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}...③$,

①②③平方相加可得

$$
\boxed{
\cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma=1 ，
}
$$

即任一向量的方向余弦的平方和为 1 .

$$
\boldsymbol{e}_a=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{1}{|\boldsymbol{a}|}\left(a_x, a_y, a_z\right)=\frac{1}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}\left(a_x, a_y, a_z\right)=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) .
$$

>要查看高中版请点击 [空间向量方向角](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2479)

`例` 设两已知点 $M_1(2,2, \sqrt{2})$ 和 $M_2(1,3,0)$ ，分别写出向量 $\overrightarrow{M_1 M_2} 、 \overrightarrow{M_2 M_1}$ 的 坐标表达式和向表达式，计算它们的模、方向余弦、方向角、单位向量.
解 向量 $\overrightarrow{M_1 M_2}=(1-2,3-2,0-\sqrt{2})=(-1,1,-\sqrt{2})=-\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-\sqrt{2} \boldsymbol{k}$ ，

$$
\overrightarrow{M_2 M_1}=-\overrightarrow{M_1 M_2}=-(-1,1,-\sqrt{2})=(1,-1, \sqrt{2})=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+\sqrt{2} \boldsymbol{k}
$$

模 $\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right|=\left|\overrightarrow{M_2 M_1}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-\sqrt{2})^2}=2$ ，
$\overrightarrow{M_1 M_2}$ 的方向余弦为

$$
\cos \alpha_1=-\frac{1}{2}, \quad \cos \beta_1=\frac{1}{2}, \quad \cos \gamma_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

对应的方向角为

$$
\alpha_1=\frac{2}{3} \pi ， \quad \beta_1=\frac{1}{3} \pi ， \gamma_1=\frac{3}{4} \pi ；
$$

同理可得 $\overrightarrow{M_2 M_1}$ 的方向余弦为

$$
\cos \alpha_2=\frac{1}{2}, \quad \cos \beta_2=-\frac{1}{2}, \quad \cos \gamma_2=\frac{\sqrt{2}}{2} \text { ； }
$$

对应的方向角为

$$
\alpha_2=\frac{1}{3} \pi ， \quad \beta_2=\frac{2}{3} \pi ， \gamma_2=\frac{1}{4} \pi \text { ； }
$$

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{M_1 M_2}=(1-2,3-2,0-\sqrt{2})=(-1,1,-\sqrt{2}) \\
& \left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2 \text { ， 故 }
\end{aligned}
$$

与 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 同向的单位向量为 $\boldsymbol{e}_{M_1 M_2}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$,
与 $\vec{M}_2 M_1$ 同向的单位向量为 $\boldsymbol{e}_{M_2 M_1}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

其他版本
【高中数学】柯西不等式及其几何意义【高等数学】数量积(点积)【数学分析】柯西Cauchy 不等式【高等数学】空间向量与空间坐标系

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