充要条件

日期: 2023-08-21 07:58 查看: 172 次

### 充要条件

在逻辑学中使用充分必要条件表示命题的逻辑关系。

**充分条件**
有 $A$ 就一定有 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的充分条件(A=>B)；
充分条件类似日常生活中的“如果...就...”

例如1
A: $x=y$,
B: $x^2=y^2$
如果$x=y$ ，则必有 $x^2=y^2$。

例如2：A: 下雨。  B:地湿。
如果下雨，那么地湿。 那么就说下雨是地湿的充分条件。

**必要条件**
无 $A$ 就一定无 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的必要条件 （B=>A）；
必要条件类似日常生活中的“只有...才...”

例如3
A:$x^2=y^2$
B:$x=y$
只有 $x^2=y^2$，才可能会有 $x=y$ ， 或者说，如果   $x^2  \ne y^2$，一定不会有 $x \ne y$

所以 $x^2=y^2$ 是  $x=y$ 的必要条件。
（x为负数，y为正数时，不能推出x=y）

例如4：A:下雨 。  B:地湿。
如果不下雨，地面一定不会湿。这个说法显然是错误的，因为泼水也可以让地湿。 所以由B推导不出A，我们就说说地湿不是下雨的必要条件。

**充要条件**
有 $A$ 就一定有 $B$ ，无 $A$ 就一定无 $B$ ，则 $A$ 是 $B$ 的充要条件。

例如
A: $x=y$,
B: $x^3=y^3$

如果$x=y$ 则必有 $x^3=y^3$， 同样，如果 $x^3=y^3$ 则必有 $x=y$，此时称A是B的充分必要条件。

$P: x=1$

$ Q: x^2=1$

$P$ 是 $Q$ 的充分条件而不是必要条件 (没有 $x=1$, 当 $x=-1, x^{\wedge} 2=1$ )
$Q$ 是 $P$ 的必要条件,没有 $x^2=1$, 就一定没有 $x=1$

### 集合观点

1. 充分/必要条件是两个命题之间的关系，若直说一个命题是充分/必要条件没有意义。
2. 讨论充分/必要条件需要在一定的前提下进行。
3. 在证明 $A$ 是 $B$ 的充分必要条件时，需要分别证明 $A$ (相对于 $B$ ) 的充分性和必要性。充分性需要由 $A$ 证明 $B$ ，必要性需要由 $B$ 证明 $A$ 。
4. 在证明 $A$ 是 $B$ 的充分非必要条件时，除了需要证明 $A$ 的充分性，还需非必要性，即 $B$ 不能推出 $A$ 。只要我们可 以举出一个 $B$ 成立 $A$ 不成立的反例，就立刻证明了不可能由 $B$ 推出 $A$ 。

①$A$ 推出 $B ， B$ 推不出 $A$ ，则为充分不必要，如图

![图片](/uploads/2023-08/image_2023082109880d8.png)

②. $A$ 推出 $B ， B$ 推出 $A$ ，则为充要，如图:

![图片](/uploads/2023-08/image_20230821fad7bec.png)

③$A$ 推不出 $B ， B$ 推不出 $A$ ，则既不充分也不必要，如图:
![图片](/uploads/2023-08/image_20230821ff5f5d6.png)

④$A$ 推不出 $B ， B$ 推出 $A$ ，则必要不充分，如图
 ![图片](/uploads/2023-08/image_20230821f75dea3.png)

### 记忆技巧

由A可以推导B，就是充分条件。
由B可以推导A，就是必要条件。

**例1** ：设 $x \in \mathbf{R}$ ，则“ $|x-2|<1$ "是“3 $3^x<27$ ”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案 $\mathrm{A}$
解析

$$
\begin{aligned}
& \because|x-2|<1, \\
& \therefore-1<x-2<1, \\
& \therefore 1<x<3, \\
& \because 3^x<27, \\
& \therefore x<3, \\
& \because\{x \mid 1<x<3\} \text { 是 }\{x \mid x<3\} \text { 的真子集, } \\
& \therefore|x-2|<1 \text { " 是“ } 3^x<27^{\prime \prime} \text { 的充分不必要条件. }
\end{aligned}
$$

故选A.

**例2** ：“ $x<1$ ”是 $3^x<1$ ”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不重要条件
答案 B.
解析 由 $3^x<1=3^0$ ，解得 $x<0$ ，
$\therefore x<1$ "是 “ $3^x<1$ "的必要不充分条件，
故选: B.

**例3** ：已知集合 $A=\{1 ， a\} ， B=\{1 ， 2 ， 3\}$ ，则“ $a=3$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：A.

**例4** ：已知集合 $A=\left\{x \mid x=m^2-n^2, m 、 n \in \mathbf{Z}\right\}$.
(1)判断 $8 ， 9 ， 10$ 是否属于集合 $A$;
(2)已知集合 $B=\{x \mid x=2 k+1, k \in \mathbf{Z}\}$ ，证明: “ $x \in A$ ”的充分非必要条件是“ $x \in B$ ”；
(3)写出所有满足集合 $A$ 的偶数.
答案 (1) $8 ， 9$ 属于集合 $A, 10$ 不集合 $A$.
(2)证明见解析.
(3)所有满足集合 $A$ 的偶数为 $4 k ， k \in \mathbf{Z}$.
解析 (1) $: 8=3^2-1 ， 9=5^2-4^2 ， \therefore 8 \in A ， 9 \in A$ ，
假设 $10=m^2-n^2 ， m, n \in \mathbf{Z}$ ，则 $(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10$ ，且 $|m|+|n|>|m|-|n|>0$ ，

$$
\begin{aligned}
& \because 10=1 \times 10=2 \times 5, \\
& \therefore\left\{\begin{array} { l } 
{ | m | + | n | = 1 0 } \\
{ | m | - | n | = 1 }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
|m|+|n|=5 \\
|m|-|n|=2^{\prime}
\end{array}\right.\right.
\end{aligned}
$$

显然均无整数解，

$$
\therefore 8 \in A, 9 \in A, 10 \notin A \text {, }
$$

(2): 集合 $B=\{x \mid x=2 k+1, k \in \mathbf{Z}\}$ ，则恒有 $2 k+1=(k+1)^2-k^2$ ，

$$
\therefore 2 k+1 \in A \text { ， }
$$

$\therefore$ 即一切奇数都属于 $A$ ，
又 $\because 8 \in A$ ，
$\therefore x \in A$ "的充分非必要条件是“ $x \in B$.
(3)集合 $A=\left\{x \mid x=m^2-n^2, m 、 n \in \mathbf{Z}\right\} ， m^2-n^2=(m+n)(m-n)$ 成立，
(1)当 $m ， n$ 同奇或同偶时， $m-n, m+n$ 均为偶数，
$(m+n)(m-n)$ 为 4 的倍数，
(2)当 $m ， n$ - 奇，一偶时， $m-n, m+n$ 均为奇数，
$\therefore(m+n)(m-n)$ 为奇数，
综上所有满足集合 $A$ 的偶数为 $4 k, k \in \mathbf{Z}$.

**例5：**  知集合 $A=\left\{x \mid x^2-(3+a) x+3 a \leqslant 0\right\}, B=\left\{x \mid \frac{x-2}{x-1}<0\right\}$.
1)若 $a=1$ ，求 $A \cap\left(\complement_{\mathbf{R}} B\right)$.
2)已知命题 $p: x \in A$ ，命题 $q: x \in B$ ，若命题 $p$ 的充分不必要条件是命题 $q$ ，求实数 $a$ 的取值范围.
3)求不等式 $x^2-(3+a) x+3 a \leqslant 0$ 的解集.

(1)当 $a=1$ 时，集合 $A=\left\{x \mid x^2-4 x+3 \leqslant 0\right\}$ ，
$\because$ 对于不等式 $x^2-4 x+3 \leqslant 0$ ，
解得: $1 \leqslant x \leqslant 3$ ，
$\therefore$ 集合 $A=\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 3\}$ ，
$\because$ 对于不等式 $\frac{x-2}{x-1}<0$ ，解得： $1<x<2$ ，
$\therefore$ 集合 $B=\{x \mid 1<x<2\}$ ，
$\therefore \complement_{\mathrm{R}} B=\{x \mid x \leqslant 1$ 或 $x \geqslant 2\}$ ，
$\therefore A \cap\left(\complement_R B\right)=\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 3$ 或 $x=1\}$.
(2)对于不等式 $x^2-(3+a) x+3 a \leqslant 0 \Rightarrow(x-3)(x-a) \leqslant 0$ ，
(1) $a>3$ 时，不等式解为 $3 \leqslant x \leqslant a$ ；
(2) $a=3$ 时，不等式解为 $x=3$ ；
(3) $a<3$ 时，不等式解为 $a \leqslant x \leqslant 3$ ，
由 (1) 可得集合 $B=\{x \mid 1<x<2\}$ ，
$\because$ 命题 $q$ 是命题 $p$ 的充分不必要条件，
$\therefore B \subseteq A$,
¡ 当 $a>3$ 时， $A=[3, a]$ ，与 $B \subseteq A$ 矛盾；
$\mathrm{ii}$ 当 $a=3$ 时， $A=\{3\}$ ，与 $B \subseteq A$ 矛盾；
iii 当 $a<3$ 时， $A=[a, 3]$ ，则 $a \leqslant 1$ ，
综上所述，实数 $a$ 的取值范围为 $(-\infty, 1]$.
(3)不等式 $x^2-(3+a) x+3 a \leqslant 0 \Rightarrow(x-3)(x-a) \leqslant 0$ ，
(1)当 $a>3$ 时，不等式解为 $[3, a]$ ；
(2)当 $a=3$ 时，不等式解为 $\{3\}$ ；
(3)当 $a<3$ 时，不等式解为 $[a, 3]$ ，
综上所述，当 $a>3$ 时，不等式解为 $[3, a]$ ；
当 $a=3$ 时，不等式解为 $\{3\}$ ；
当 $a<3$ 时，不等式解为 $[a, 3]$.

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