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向量的内积、长度

## 向量的内积与长度
**定义1** 设有 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right), \boldsymbol{y}=\left(\begin{array}{l}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{array}\right), \quad$ 令 $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}=x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n$, 称 $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$ 为向量 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{y}$ 的内积.
内积的性质 (其中 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 与 $z$ 都是 $n$ 维列向量， $\lambda$ 为实数):

(i) $[x, y]=[y, x]$;
(ii) $[\lambda x, y]=\lambda[x, y]=[x, \lambda y]$;
(iii) $[x+y, z]=[x, z]+[y, z]$;
(iv) $[x, x] \geq 0$ ，当且仅当 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 时， $[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}]=0$.
利用这些性质，还可以证明著名的柯西-施瓦茨  不等式

$$
[x, y]^2 \leq[x, x][y, y] .
$$

**定义2** 设有 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$, $\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$, 称 $\|\boldsymbol{x}\|$ 为向量 $\boldsymbol{x}$ 的长度（或范数）.
向量的长度具有下述性质：
(i) 非负性 当 $x \neq 0$ 时， $\|x\|>0$ ；当 $x=0$ 时， $\|x\|=0$;
(ii) 齐次性 $\|\lambda x|=| \lambda \mid \cdot\| x \|$;
(iii) 三角不等式 $\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$.
证明: (i)与(ii)是显然的，下面证明(iii). 因为 $\|x+y\|^2=[x+y, x+y]=[x, x]+2[x, y]+[y, y]$, 由施瓦茨不等式，有 $[x, y] \leq \sqrt{[x, x][y, y]}$,
从而 $\quad\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2 \leq[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}]+2 \sqrt{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}][\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}]}+[\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}]=\|\boldsymbol{x}\|^2+2\|\boldsymbol{x}\| \boldsymbol{y}\|+\| \boldsymbol{y} \|^2=\left(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|^2\right.$, 即 $\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\| \leq\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|$.
当 $\|x\|=1$ 时，称 $\boldsymbol{x}$ 为单位向量. 如果 $\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$ ，取 $\beta=\frac{\alpha}{\|\alpha\|}$ ，则 $\beta$ 是一个单位向量.
由向量 $\alpha$ 得到单位向量 $\beta$ 的过程称为把向量 $\alpha$ 单位化.

**定义3** 当 $x \neq 0, y \neq 0$ 时，

$$
\theta=\arccos \frac{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]}{\|\boldsymbol{x}\| \boldsymbol{y} \|} \text { 称为 } n \text { 维向量 } \boldsymbol{x} \text { 与 } \boldsymbol{y} \text { 的夹角. }
$$

当 $[x, y]=0$ 时，称向量 $x$ 与 $y$ 正交.

显然，若 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ ，则 $\boldsymbol{x}$ 与任何向量都正交.

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