最后更新: 2025-08-26 09:49 查看: 527 次反馈同步训练

向量正交

## 向量正交
向量正交是指：若两个同维向量 $\vec{u}, \vec{v}$ 的点乘（也叫：数量积）为 0 ，则两个向量正交（也叫：垂直），

> **上面做法用口诀记忆就是：两个向量内积为零则正交，反之，如果正交则内积为零。**

### 理解：向量正交

在二维平面里，我们有平面笛卡尔直角坐标系$i=(1,0), j=(0,1)$（也就是传统的x轴与y轴），很明显他们是正交的 
 ![图片](/uploads/2024-11/abc2aa.jpg){width=300px}

但是他们并不是唯一的，比如$a=(1,1)$ 和 $b=(1,-1)$也正交。

在三维空间里，也有空间笛卡尔坐标系$i=(1,0,0), j=(0,1,0),k=(0,0,1)$, （也就是传统的x轴，y轴与z轴）
  ![图片](/uploads/2024-11/7b0415.jpg){width=300px}

`例` 验证向量 $u = (1, 2, 3)$ 和 $v = (7, 2, -11/3)$ 也是正交的。

解：计算点积 
$$
u · v = (1 * 7) + (2 * 2) + (3 * (-11/3))
= 7 + 4 + (-11)
= (7 + 4) - 11
= 11 - 11
= 0
$$
因为点积为 0，所以向量u 和 v 在三维空间中正交(互相垂直)。

现在的问题来了：给一组向量，如何快速找到一组相互垂直的坐标系（基），这就是接下来我们要研究的问题, 为此先给出正交向量组的概念。
 
  
 
 
## 正交向量组
**定义** 由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组.

**判定** 若 $\alpha \beta =0$ 则称$\alpha$和$\beta$正交。

`例` 
$$
a=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
0
\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
3
\end{array}\right) 
$$

解：要判断$a,b,c$是正交向量组，就是要判断$ab=0,ac=0,bc=0$.

计算 $a \ b= 1*0+0*2+0*0=0$ 所以 $a,b$垂直，同样$b,c$,$a,c$ 都互相垂直。所以$a,b,c$构成一个正交向量组。

`例` 不难证明，下面四个向量也构造一个正交向量组。
$$ 
\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right)
$$

> **从上面计算可以看出，两个向量正交，则对应坐标点相加为零。反正，如果对应坐标点相加为零，则两个向量正交，这是一个非常有用的结论。**

## 定理1
若 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一个正交向量组，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关.

证明： 设有常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ ，使

$$
\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0},
$$

以 $\boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}}(i=1,2, \cdots, m)$ 左乘上式两端，当 $j \neq i$ 时， $\alpha_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=0$ ，从而有 $\lambda_i \boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_i=0(i=1,2, \cdots, m)$,
因 $\boldsymbol{\alpha}_i \neq \mathbf{0}(i=1,2, \cdots, m)$ ，故 $\alpha_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_i \neq 0$ ，
于是必有 $\lambda_i=0(i=1,2, \cdots, m)$ ，所以向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关.

`例` 已知 3 维空间中的两个向量 $\alpha _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)$ 正交，试求一个非零向量 $\alpha _3$ ，使 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$两两正交.

解：方法一：记

$$
A =\binom{ \alpha _1^{T}}{ \alpha _2^{T}}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
1 & 2 & -1
\end{array}\right),
$$

$\alpha _3$ 应满足齐次线性方程组 $A x = 0$ ，即 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\binom{0}{0} ...(1)$,
对系数矩阵 $A$ 实施初等行变换，有 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$,

得
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=x_3 \\
x_2=0
\end{array}\right.
$$

从而有基础解系
$$
\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) .
$$

取 $\alpha _3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ，则 $\alpha _3$ 为所求.

解法2：既然互相垂直，自然 $ \alpha_1 \alpha_3=0$ 和  $ \alpha_2 \alpha_3=0$ 这样就可以得到两个方程组，即

$$
\left\{ \begin{array}{c}
\alpha_1 \alpha_3 =1 * x_1 -1 * x_2 - 1 * x_3=0\\
\alpha_2 \alpha_3=1* x_1 +2* x_2 -1 *x_3=0
\end{array}
\right.
$$

解这个方程组即可，不过如果你仔细观察，上面这个方程写成矩阵的形式就是方法一的（1）式，所以两个过程本质是一样的，具体略。

## 规范正交基

设 $n$ 维向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是向量空间 $V\left(V \subseteq \mathbf{R}^n\right)$ 的一个基，如果 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 两两正交， 且都是单位向量， 则称 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是 $v$ 的一个规范正交基.
例如， $n$ 维单位坐标向量 $e_1, e_2, \cdots

其他版本
【高中数学】两直线平行与垂直(解析几何)【高等数学】向量投影定理【高中数学】向量垂直

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