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复数的引入
日期:
2023-08-29 20:36
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从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 $x^2+a=0(a>0)$ 有没有解，进而可以归结为方程 $x^2+1=0$ 有没有解。 回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 $x^2-2=0$ 这样的方 程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规 定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。 依照这种思想，为了解决 $x^2+1=0$ 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 $i$ ，使得 $x=i$ 是方程 $x^2+1=0$ 的解， 即使得 $i^2=-1$ 。 思考：把新引进的数 添加到实数集中，我们希望数 $i$ 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、 结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢? 依照以上设想，把实数 $b$ 与 $i$ 相乘，结果记作 $b i$ ；把实数 $a$ 与 $b i$ 相加，结果记作 $a+b i$ 。注意到所有实数以及 $i$ 都可以写成 $a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbb{R})$ 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。
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2023-08-29 20:36
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