最后更新: 2025-01-09 09:58 查看: 456 次反馈刷题

向量正交

## 向量正交
 向量正交是向量投影最常用的形式，在阅读本文前，建议先理解[向量投影](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1597)

在二维平面里，我们有平面笛卡尔直角坐标系$i=(1,0), j=(0,1)$（也就是传统的x轴与y轴）， 
 ![图片](/uploads/2024-11/abc2aa.jpg){width=300px}
 
 在三维空间里，也有空间笛卡尔坐标系$i=(1,0,0), j=(0,1,0),k=(0,0,1)$, （也就是传统的x轴，y轴与z轴）
  ![图片](/uploads/2024-11/7b0415.jpg){width=300px}
 
 
向量正交基本理解是：给出一组向量，两两垂直。 现在的问题来了：给一组向量，如何快速找到一组相互垂直的坐标系（基），这就是接下来我们要研究的问题。
 
  
 
 
 ## 正交向量组
### 定义
由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组.

### 判定
若 $\alpha \beta =0$ 则称$\alpha$和$\beta$正交。
我们不打算证明这个结论，仅从几何意义上解释，向量内积表示的一个向量在另外一个向量上的投影，详见高中[平面向量教材](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)

如果两个向量垂直(如下图$\vec{a},\vec{b}$)， 当$a,b$垂直时，$b$在$a$上投影为零(同样$a$在$b$上投影也是零)。
![图片](/uploads/2024-11/4aa7c0.jpg)

`例` 
$$
a=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
0
\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
3
\end{array}\right) 
$$ 
 
 计算 $a \ b= 1*0+0*2+0*0=0$ 所以 $a,b$垂直，同样$b,c$,$a,c$ 都互相垂直。所以$a,b,c$构成一个正交向量组。

`例` 不难证明，下面四个向量也构造一个正交向量组。
$$ 
\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right)
$$

> 从上面计算可以看出，两个向量正交，则对应坐标点相加为零。反正，如果对应坐标点相加为零，则两个向量正交，这是一个非常有用的结论。

## 定理1
若 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一个正交向量组，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关.

证明： 设有常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ ，使

$$
\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0},
$$

以 $\boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}}(i=1,2, \cdots, m)$ 左乘上式两端，当 $j \neq i$ 时， $\alpha_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=0$ ，从而有 $\lambda_i \boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_i=0(i=1,2, \cdots, m)$,
因 $\boldsymbol{\alpha}_i \neq \mathbf{0}(i=1,2, \cdots, m)$ ，故 $\alpha_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_i \neq 0$ ，
于是必有 $\lambda_i=0(i=1,2, \cdots, m)$ ，所以向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关.

`例` 已知 3 维空间中的两个向量 $\alpha _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)$ 正交，试求一个非零向量 $\alpha _3$ ，使 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$两两正交.

解：记

$$
A =\binom{ \alpha _1^{T}}{ \alpha _2^{T}}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
1 & 2 & -1
\end{array}\right),
$$

$\alpha _3$ 应满足齐次线性方程组 $A x = 0$ ，即 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\binom{0}{0}$,
对系数矩阵 $A$ 实施初等行变换，有 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$,

得
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=x_3 \\
x_2=0
\end{array}\right.
$$

从而有基础解系
$$
\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) .
$$

取 $\alpha _3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ，则 $\alpha _3$ 为所求.

## 规范正交基

设 $n$ 维向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是向量空间 $V\left(V \subseteq \mathbf{R}^n\right)$ 的一个基，如果 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 两两正交， 且都是单位向量， 则称 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是 $v$ 的一个规范正交基.
例如， $n$ 维单位坐标向量 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 就是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.
向量组

$$
\xi_1=\left(\begin{array}{l}
\frac{2}{3} \\
\frac{1}{3} \\
\frac{2}{3}
\end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c}
-\frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} \\
\frac{1}{3}
\end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{3} \\
\frac{2}{3} \\
-\frac{2}{3}
\end{array}\right)
$$

就是 $\mathbf{R}^3$ 的一个规范正交基.
若 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是 $V$ 的一个规范正交基， 那么 $V$ 中任一向量 $\beta$ 都能由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 线性表示， 设表示式为

$$
\boldsymbol{\beta}=\lambda \xi_1+\lambda_2 \xi_2+\cdots+\lambda_r \xi_r,
$$

用 $\xi_i^{\mathrm{T}}(i=1, \cdots, r)$ 左乘上式，有 $\xi_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\lambda_i \xi_i^{\mathrm{T}} \xi_i=\lambda_i(i=1, \cdots, r)$, 即 $\lambda_i=\xi_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\left[\xi_i, \boldsymbol{\beta}\right](i=1, \cdots, r)$.

其他版本
【高中数学】两直线平行与垂直(解析几何)【高等数学】向量投影定理【高中数学】向量垂直

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