最后更新: 2025-08-31 10:23 查看: 655 次反馈同步训练

正交矩阵

> 在学习本章时，必须跟进整体向量的思路。比如给你两个向量：$a,b$，我们先定义$a,b$的长度和夹角，如果他们不共线那就可以扩张为一个平面，既然能扩张为一个面，进而要研究如何找到一组正交基，然后给出施密特正交化，有了正交化后，再把模长单位化（即让模长为1），这样就可以到的新的空间坐标系，这个新的空间坐标系就是正交矩阵。换句话说，本掌内容是一环扣着一环，所以，在阅读本文前，建议已经了解前面介绍的内容。

下图展示了我们处理向量的基本过程：给你任意两个向量，我们先让他们正交，再让他们单位化，这就是前面所学的内容。示意图如下小黄脸从不开心到开心再到哈哈大笑。

![图片](/uploads/2025-08/cc9493.jpg)

> 作为初学者最大的疑问是：怎么又提出正交矩阵这个概念？这是因为一个矩阵乘以一个向量相当于一个线性变换，只有正交矩阵不改变向量根本属性。后面会学到二次型，比如一个圆当使用普通矩阵进行变换时，会变成椭圆（通常长度，角度都会改变），但只有正交变换会让圆仍然保持圆（长度、角度不变，或者把正交矩阵看成坐标轴旋转）

## 正交矩阵的数学定义及性质
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{\mathrm{T}} A=E $ , 那么称 $A$ 为正交矩阵，简称正交阵.

设矩阵 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则下列结论等价:
(1) $A$ 是 $n$ 阶正交阵；
(2) $A$ 的列向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基;
(3)   $A$ 的行向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.
证明 (1) $\Leftrightarrow(2)$ ： 将矩阵 $A$ 按列分块 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 如果 $A$ 是 $n$ 阶正交阵，
则公式 $A^T A=E$ 可表示为 $\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^2 \\ \vdots \\ a_n^2\end{array}\right)\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right)$,
亦即 $\quad \boldsymbol{\alpha}_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { 当 } i=j, \\ 0, & \text { 当 } i \neq j\end{array}(i, j=1,2, \cdots, n)\right.$,
这说明 $A$ 的列向量都是 $n$ 维单位向量，且两两正交，从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.

$$
\text { (1) } \Leftrightarrow(3) \text { : 因为 } A^T A=E \text { 与 } A A^T=E \text { 等价，所以将矩阵 } A \text { 按行分块 } A=\left(\begin{array}{c}
\beta^T \\
\beta_2^{\top} \\
\vdots \\
\beta_n^{\top}
\end{array}\right) \text {, }
$$

于是公式 $A A^T=E$ 可表示为

$$
A A^{\top}=\left(\begin{array}{c}
\beta^{\top} \\
\beta_2^{\top} \\
\vdots \\
\beta_n^{\top}
\end{array}\right)\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$

所以

$$
\boldsymbol{\beta}_i^T \boldsymbol{\beta}_j=\boldsymbol{\delta}_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { 当 } i=j, \\
0, & \text { 当 } i \neq j
\end{array} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),\right.
$$

即: $A$ 的行向量也都是 $n$ 维单位向量，且两两正交，从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.

### 克罗内克函数
现在跳脱线性代数，仅从高中函数的角度看$\boldsymbol{\delta}_{i j}$ ,当 $i=j$时，其值为1，当 当 $i \ne j$时，其值为0,

$$
\boldsymbol{\delta}_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { 当 } i=j, \\
0, & \text { 当 } i \neq j
\end{array} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),\right.
$$

这个函数被称作克罗内克函数，他完美地同时概括了“标准”和“正交”两个条件

## 数学性质

1．正交矩阵的逆：$Q^T=Q^{-1}$ ，正交矩阵的转置 $=$ 正交矩阵的逆；

2．正交矩阵的行列式：行列式的取值只有两种可能（1）或（－1）；
这个证明比较简单，因为 $A^T A=E$, 两边取行列式得 
$|A^TA|=|E|=>|A|=1 or |A|=-1$

3．向量正交：将 $Q$ 视作由若干行向量组成，则这些行向量两两相互正交；若将 $Q$ 视作由若干列向量组成，则这些列向量也两两相互正交；

4．保持长度不变：$Q \vec{x}=\vec{y}$ ，将 $Q$ 视作一个矩阵映射时，左乘一个向量 $x$ 后，得到的结果向量 $y$ 的长度与向量 $x$ 的长度相同，记作：$\|\vec{x}\|=\|\vec{y}\|$ ；

5．保持角度不变：如果有两个向量 $\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{x_2}$ ，它们的夹角是为 $(\theta)$ ，那么 $\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{x_2}$ 经过同一个正交矩阵映射后，得到的新向量 $Q \overrightarrow{x_1}, Q \overrightarrow{x_2}$ 之间的夹角仍然是 $(\theta)$ 。这意味着正交矩阵的映射不改变向量之间的夹角，只是对向量进行了旋转、投影、镜像等操作。

> 总之，在正交矩阵下，一个图像保持不变。

`例`假设存在一个矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$ ，试计算一个向量$a=(2,2)$ 和 $b=(-1,1)$在新基下的坐标值。

解：容易验证：他是方阵，他的模长为$\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=1$， 而且点积为零，所以矩阵$A$是一个正交矩阵。

此时我们要将自然基下的一个坐标 $x(2,2)$ 转换到 $A$ 这组基下。
依据坐标转换公式：$A^{-1}[x]_E=[x]_A$ 即可求得：
第一步：求 $A^{-1}$ ，用到的性质：正交矩阵的逆＝正交矩阵的转置

$$
A^{-1}=A^T=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
-\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right]
$$

第二步：代入坐标转换公式

$$
A^{-1}[x]_E=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
-\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
2 \\
2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
2 \sqrt{2} \\
0
\end{array}\right]
$$

即：$[x]_a=\left[\begin{array}{c}2 \sqrt{2} \\ 0\end{array}\right]$

同理可的 $[x]_b=\left[\begin{array}{c}0 \\ \sqrt{2} \end{array}\right]$

**下图显示了上面正交矩阵的作用。一个向量$a=(2,2)$ 和$b=(-1,1)$
在矩阵A的作用下，变成了$a'=(2\sqrt{2},0)$ 和$b'=(0,\sqrt{2})$ ，神奇的事情发生了，你会发现 $a,b$的长度和$a,b$之间的夹角都没有变。 换句话说，正交变换不改变图形的性质**

![图片](/uploads/2025-08/d6da94.jpg)

事实上，矩阵A如果写成下面形式，你就发现他本身就是一个 [旋转矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2605)

$$
A^{-1}=A^T=\left[\begin{array}{cc}
cos 45^{\circ} & -cos 45^{\circ}  \\
cos 45^{\circ} & cos 45^{\circ} 
\end{array}\right]
$$

> 总之，对于正交矩阵，你可以理解为，在正交矩阵下图形会保持原有的长度和角度。 两个向量长度和夹角都保持不变。

## 为啥又搞出一个正交矩阵？
考虑下面两个矩阵：

>$A^{T} A=E$
$A^{-1} A=E$

如果$A^{T} =A^{-1} $ 这个矩阵就算正交矩阵。单独看正交矩阵意义不大，但是如果放在图形变换里，那意义就太大了：

> **正交矩阵不改变图形的性质。**

做一个简单的类别：

**矩阵变换 类比 相似三角形**
**正交变换 类比 全等三角形**

矩阵会有三大性质：等价、相似与合同。而正交矩阵是相似与合同的交集，因此具有最优秀的性质。

在前面介绍过，相似变换，相当于从不同的视角看图片，而正交变换可以看成从正面垂直角度看，具有最好的视角。

![图片](/uploads/2025-08/6fa5d6.jpg)

`例`验证矩阵 $P=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end

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