最后更新: 2025-04-29 10:27 查看: 568 次反馈刷题

正交矩阵

> 在学习本章时，必须跟进整体向量的思路。比如给你两个向量：$a,b$，我们先定义$a,b$得长度和夹角，然后介绍向量$b$在向量$a$上的投影，进而要研究如何找到一组正交基，然后给出施密特正交化，有了正交化后，就给出正交矩阵。换句话说，本掌内容是一环扣着一环，所以，在阅读本文前，建议已经了解前面介绍的内容。

> 作为初学者最大的疑问是：怎么又提出正交矩阵这个概念？这是因为一个矩阵乘以一个向量相当于一个线性变换，只有正交矩阵不改变向量根本属性。后面会学到二次型，比如一个圆当使用普通矩阵进行变换时，会变成椭圆，但只有正交变换会让圆维持原有的圆的特征。到底使用不使用正交矩阵和您研究的目的有关。详见  [附录2:矩阵的等价、相似与合同](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772)

## 正交矩阵
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{\mathrm{T}} A=E $ , 那么称 $A$ 为正交矩阵，简称正交阵.

设矩阵 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则下列结论等价:
(1) $A$ 是 $n$ 阶正交阵；
(2) $A$ 的列向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基;
(3)   $A$ 的行向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.
证明 (1) $\Leftrightarrow(2)$ ： 将矩阵 $A$ 按列分块 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 如果 $A$ 是 $n$ 阶正交阵，
则公式 $A^T A=E$ 可表示为 $\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^2 \\ \vdots \\ a_n^2\end{array}\right)\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right)$,
亦即 $\quad \boldsymbol{\alpha}_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { 当 } i=j, \\ 0, & \text { 当 } i \neq j\end{array}(i, j=1,2, \cdots, n)\right.$,
这说明 $A$ 的列向量都是 $n$ 维单位向量，且两两正交，从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.

$$
\text { (1) } \Leftrightarrow(3) \text { : 因为 } A^T A=E \text { 与 } A A^T=E \text { 等价，所以将矩阵 } A \text { 按行分块 } A=\left(\begin{array}{c}
\beta^T \\
\beta_2^{\top} \\
\vdots \\
\beta_n^{\top}
\end{array}\right) \text {, }
$$

于是公式 $A A^T=E$ 可表示为

$$
A A^{\top}=\left(\begin{array}{c}
\beta^{\top} \\
\beta_2^{\top} \\
\vdots \\
\beta_n^{\top}
\end{array}\right)\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$

所以

$$
\boldsymbol{\beta}_i^T \boldsymbol{\beta}_j=\boldsymbol{\delta}_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { 当 } i=j, \\
0, & \text { 当 } i \neq j
\end{array} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),\right.
$$

即: $A$ 的行向量也都是 $n$ 维单位向量，且两两正交，从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.

## 为啥又搞出一个正交矩阵？
考虑下面两个矩阵：
$A^{T} A=E$
$A^{-1} A=E$

如果$A^{T} =A^{-1} $ 这个矩阵就算正交矩阵。单独看正交矩阵意义不大，但是如果放在图形变换里，那意义就太大了：
**正交矩阵不改变图形的性质。**

做一个简单的类别：
**普通的矩阵相似类似三角形相似，两个三角形相似对应角相等。
而正交相似类似全等三角形，全等三角形不但角度相等而且对应边也相当。** 详细介绍，参考附录2

`例`验证矩阵 $P=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$ 是正交阵.
证明 容易验证 $P$ 的每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以 $P$ 是正交阵。
正交矩阵具有如下性质:
(i) 若 $A$ 为正交阵，则 $A ^{-1}= A ^{ T }$ 也是正交阵，且 $| A |=1$ 或 -1 ；
(ii) 若 $A$ 和 $B$ 都是正交阵，则 $A B$ 也是正交阵.

## 定义
若 $P$ 为正交矩阵，则线性变换 $y=P x$ 称为正交变换. 设 $y=P x$ 为正交变换，则有 $\| y \|=\sqrt{y^{ T } y }=\sqrt{ x ^{ T } P ^{ T } P x }=\sqrt{ x ^{ T } x }=\| x \|$. 因此正交变换保持向量的长度不变.

> 最后这句话是“正交变换保持向量的长度不变” 是正交变换的根本特征。

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