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复数几何意义
日期:
2023-01-03 17:00
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我们知道了 $a+b \mathrm{i}$ 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。 我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。 首先我们定义 复数相等: 两个复数 $z_1=a+b \mathrm{i}, z_2=c+d \mathrm{i}$ 是相等的，当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$ 且。 这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。 也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 $(a, b)$ 表示一个复数 $a+b \mathrm{i}$ 。这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了，我们找 到了复数的一种几何意义。 那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义一一表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面， $x$ 轴称为 实轴， $y$ 轴称 为 虚轴。我们进一步地说: 复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的。 我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 $(a, b)$ ，显然，复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 对应复平面内的点 $Z(a, b)$ ，那么它还对应平面向量 $\overrightarrow{O Z}=(a, b)$ ，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 0 与零向量对应) 。 于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 。 于是为了方便，我们常把复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 称为点 $Z$ 或向量 $\overrightarrow{O Z}$ ，并规定相等的向量表示同一个复数。 并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。
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2023-01-03 17:00
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