最后更新: 2025-01-08 22:07 查看: 582 次反馈同步训练

特征值与特征向量的性质

## 特征值与特征向量的性质

### 性质1
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 则
(i) $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$,
(ii) $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|$.
由此可见， $n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 的特征值全不为零.

### 性质2
若 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则
**（1）** $\lambda^k$ 是方阵 $\boldsymbol{A}^k$ 的特征值（ $k$ 为非负整数），对应于特征值 $\lambda^k$ 的特征向量是 $\boldsymbol{\alpha}$ ；

**（2）** $ k \lambda$ 是方阵 $k \boldsymbol{A}$ 的特征值（ $k$ 为任意常数），对应于特征值 $k \lambda$ 的特征向量是 $\alpha$ ；

**（3）**  当 $A$ 可逆时， $\lambda^{-1}$ 是方阵 $A^{-1}$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda^{-1}$的特征向量是$ \boldsymbol{\alpha}$ ；

**（4）** 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的多项式是 $\varphi(\boldsymbol{A})=a_m \boldsymbol{A}^m+\cdots+a_1 \boldsymbol{A}+a_0 \boldsymbol{E}$ 则方阵 $\varphi(\boldsymbol{A})$ 的特征值是 $\varphi(\lambda)$ （其中 $\varphi(\lambda)=a_m \lambda^m+\cdots+a_1 \lambda+a_0$ 是关于 $\lambda$ 的多项式），对应于特征值 $\varphi(\lambda)$的特征向量是 $\alpha$.

**证明：**
因 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，故有 $A \alpha=\lambda \alpha$ 于是
(i) $A^k \alpha=A^{k-1}(A \alpha)=A^{k-1}(\lambda \alpha)=\lambda\left(A^{k-1} \alpha\right)=\lambda A^{k-2}(A \alpha)=\lambda^2 A^{k-2} \alpha=\cdots=\lambda^k \alpha$,
所以 $\lambda^k$ 是方阵 $A^k$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda^k$ 的特征向量是 $\alpha$.
(ii) $(k A) \alpha=k(A \alpha)=k(\lambda \alpha)=(k \lambda) \alpha$,
所以 $k \lambda$ 是方阵 $k \boldsymbol{A}$ 的特征值，对应于特征值 $k \lambda$ 的特征向量是 $\alpha$.

当 $A$ 可逆时，特征值均不为零，于是
(iii) $A^{-1} A=E \Rightarrow A^{-1}(A \alpha)=E \alpha \Rightarrow \lambda A^{-1} \alpha=\alpha \Rightarrow A^{-1} \alpha=\lambda^{-1} \alpha$,
所以 $\lambda^{-1}$ 是方阵 $A^{-1}$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量是 $\alpha$.
由(i)可知，
(iii)

$$
\begin{aligned}
\varphi(\boldsymbol{A}) \boldsymbol{\alpha} & =\left(a_m \boldsymbol{A}^m+\cdots+a_1 \boldsymbol{A}+a_0 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{\alpha}=a_m \boldsymbol{A}^m \boldsymbol{\alpha}+\cdots+a_1 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}+a_0 \boldsymbol{E} \boldsymbol{\alpha} \\
& =a_m \lambda^m \boldsymbol{\alpha}+\cdots+a_1 \lambda \boldsymbol{\alpha}+a_0 \boldsymbol{\alpha}=\left(a_m \lambda^m+\cdots+a_1 \lambda+a_0\right) \boldsymbol{\alpha}=\varphi(\lambda) \boldsymbol{\alpha},
\end{aligned}
$$

所以方阵 $\varphi(\boldsymbol{A})$ 的特征值是 $\varphi(\lambda)$ 对应于特征值 $\varphi(\lambda)$ 的特征向量是 $\boldsymbol{\alpha}$.

`例`设 3 阶矩阵的特征值为 $1,2,3$ ，求 $2 \boldsymbol{A}^*-3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 的特征值.
解
因 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全不为 0 ，知 $\boldsymbol{A}$ 可逆，故 $\boldsymbol{A}^*=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}$. 而 $|\boldsymbol{A}|=\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3=6$ ，记

$$
\varphi(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^*-3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}=6 \boldsymbol{A}^{-1}-3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E} .
$$

这里， $\varphi(\boldsymbol{A})$ 虽不是矩阵多项式，但也具有矩阵多项式的特性，从而可利用性质 2 (iv) 来计算 $\varphi(A)$ 的特征值. 由 $\varphi(\lambda)=6 \lambda^{-1}-3 \lambda+2$ 得 $\varphi(A)$ 的特征值为

$$
\varphi(1)=6-3+2=5, \varphi(2)=\frac{6}{2}-3 \times 2+2=-1, \varphi(3)=\frac{6}{3}-3 \times 3+2=-5 \text {, }
$$

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