特征值与特征向量的性质

特征值与特征向量的性质

性质1

设 $n$ 阶矩阵 $\mathit{A}=\left(a_{ij}\right)$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 则
(i) ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$,
(ii) ${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|$.
由此可见， $n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 的特征值全不为零.

性质2

若 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则
（1） ${\lambda }^k$ 是方阵 ${\mathit{A}}^k$ 的特征值（ $k$ 为非负整数），对应于特征值 ${\lambda }^k$ 的特征向量是 $\mathit{\alpha }$ ；

（2） $k\lambda$ 是方阵 $k\mathit{A}$ 的特征值（ $k$ 为任意常数），对应于特征值 $k\lambda$ 的特征向量是 $\alpha$ ；

（3） 当 $A$ 可逆时， ${\lambda }^{-1}$ 是方阵 $A^{-1}$ 的特征值，对应于特征值 ${\lambda }^{-1}$的特征向量是$\mathit{\alpha }$ ；

（4） 若矩阵 $\mathit{A}$ 的多项式是 $\phi (\mathit{A})=a_m{\mathit{A}}^m+\cdots +a_1\mathit{A}+a_0\mathit{E}$ 则方阵 $\phi (\mathit{A})$ 的特征值是 $\phi (\lambda )$ （其中 $\phi (\lambda )=a_m{\lambda }^m+\cdots +a_1\lambda +a_0$ 是关于 $\lambda$ 的多项式），对应于特征值 $\phi (\lambda )$的特征向量是 $\alpha$.

证明：
因 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，故有 $A\alpha =\lambda \alpha$ 于是
(i) $A^k\alpha =A^{k-1}(A\alpha )=A^{k-1}(\lambda \alpha )=\lambda \left(A^{k-1}\alpha \right)=\lambda A^{k-2}(A\alpha )={\lambda }^2{A}^{k-2}\alpha =\cdots ={\lambda }^k\alpha$,
所以 ${\lambda }^k$ 是方阵 $A^k$ 的特征值，对应于特征值 ${\lambda }^k$ 的特征向量是 $\alpha$.
(ii) $(kA)\alpha =k(A\alpha )=k(\lambda \alpha )=(k\lambda )\alpha$,
所以 $k\lambda$ 是方阵 $k\mathit{A}$ 的特征值，对应于特征值 $k\lambda$ 的特征向量是 $\alpha$.

当 $A$ 可逆时，特征值均不为零，于是
(iii) $A^{-1}A=E\Rightarrow A^{-1}(A\alpha )=E\alpha \Rightarrow \lambda A^{-1}\alpha =\alpha \Rightarrow A^{-1}\alpha ={\lambda }^{-1}\alpha$,
所以 ${\lambda }^{-1}$ 是方阵 $A^{-1}$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量是 $\alpha$.
由(i)可知，
(iii)

所以方阵 $\phi (\mathit{A})$ 的特征值是 $\phi (\lambda )$ 对应于特征值 $\phi (\lambda )$ 的特征向量是 $\mathit{\alpha }$.

例1设 3 阶矩阵的特征值为 $1,2,3$ ，求 $2{\mathit{A}}^{\ast }-3\mathit{A}+2\mathit{E}$ 的特征值.
解
因 $\mathit{A}$ 的特征值全不为 0 ，知 $\mathit{A}$ 可逆，故 ${\mathit{A}}^{\ast }=|\mathit{A}|{\mathit{A}}^{-1}$. 而 $|\mathit{A}|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=6$ ，记

这里， $\phi (\mathit{A})$ 虽不是矩阵多项式，但也具有矩阵多项式的特性，从而可利用性质 2 (iv) 来计算 $\phi (A)$ 的特征值. 由 $\phi (\lambda )=6{\lambda }^{-1}-3\lambda +2$ 得 $\phi (A)$ 的特征值为

性质3

如果 ${\alpha }_1$ 与 ${\alpha }_2$ 是方阵 $\mathit{A}$ 的同一特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量，则 $k_1{\alpha }_1+k_2{\mathit{\alpha }}_2(k_1、k_2$ 不同 时为零)也是特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量.
证明 由 $A{\alpha }_1=\lambda {\alpha }_1，A{\alpha }_2=\lambda {\alpha }_2$ 得

所以 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2(k_1、k_2$ 不同时为零)也是特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量.

性质4

设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m$ 是方阵 $\mathit{A}$ 的 $m$ 个互不相同的特征值， ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m$ 是依次与之对应的特 征向量, 则

性质5

设 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是矩阵 $\mathit{A}$ 的两个不同的特征值， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 和 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$ 是分别对应 于 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 的线性无关的特征向量，则
${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_s,{\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_t$ 线性无关.

例2 设 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是矩阵 $\mathit{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 ${\mathit{\alpha }}_1$ 和 ${\mathit{\alpha }}_2$ ，证明 ${\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2$ 不是 $\mathit{A}$ 的特征向量.

证明 按题设，有 $A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1，A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2$ 。假设 ${\alpha }_1+{\alpha }_2$ 是 $A$ 的特征向量，则应该存在数 $\lambda$ ，使

另一方面，

于是 $\lambda ({\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2)={\lambda }_1{\mathit{\alpha }}_1+{\lambda }_2{\mathit{\alpha }}_2$,
即 $({\lambda }_1-\lambda ){\alpha }_1+({\lambda }_2-\lambda ){\mathit{\alpha }}_2=0$.
因 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ ，所以 ${\mathit{\alpha }}_1$ 和 ${\mathit{\alpha }}_2$ 线性无关，从而由上式得 ${\lambda }_1-\lambda ={\lambda }_2-\lambda =0$ ，即 ${\lambda }_1={\lambda }_2$ ，与题设矛盾. 因此 ${\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2$ 不是 $\mathit{A}$ 的特征向量.