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最后更新: 2025-01-08 22:07    查看: 510 次    高考专区    考研专区    公式专区    刷题专区    词条搜索       

特征值与特征向量的性质

特征值与特征向量的性质

性质1

n 阶矩阵 A=(aij) 的特征值为 λ1,λ2,,λn
(i) λ1+λ2++λn=a11+a22++ann,
(ii) λ1λ2λn=|A|.
由此可见, n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的特征值全不为零.

性质2

λ 是方阵 A 的特征值, α 为对应于特征值 λ 的特征向量,则
(1) λk 是方阵 Ak 的特征值( k 为非负整数),对应于特征值 λk 的特征向量是 α

(2) kλ 是方阵 kA 的特征值( k 为任意常数),对应于特征值 kλ 的特征向量是 α

(3)A 可逆时, λ1 是方阵 A1 的特征值,对应于特征值 λ1的特征向量是α

(4) 若矩阵 A 的多项式是 φ(A)=amAm++a1A+a0E 则方阵 φ(A) 的特征值是 φ(λ) (其中 φ(λ)=amλm++a1λ+a0 是关于 λ 的多项式),对应于特征值 φ(λ)的特征向量是 α.

证明:
λ 是方阵 A 的特征值, α 为对应于特征值 λ 的特征向量,故有 Aα=λα 于是
(i) Akα=Ak1(Aα)=Ak1(λα)=λ(Ak1α)=λAk2(Aα)=λ2Ak2α==λkα,
所以 λk 是方阵 Ak 的特征值,对应于特征值 λk 的特征向量是 α.
(ii) (kA)α=k(Aα)=k(λα)=(kλ)α,
所以 kλ 是方阵 kA 的特征值,对应于特征值 kλ 的特征向量是 α.

A 可逆时,特征值均不为零,于是
(iii) A1A=EA1(Aα)=EαλA1α=αA1α=λ1α,
所以 λ1 是方阵 A1 的特征值,对应于特征值 λ 的特征向量是 α.
由(i)可知,
(iii)

φ(A)α=(amAm++a1A+a0E)α=amAmα++a1Aα+a0Eα=amλmα++a1λα+a0α=(amλm++a1λ+a0)α=φ(λ)α,

所以方阵 φ(A) 的特征值是 φ(λ) 对应于特征值 φ(λ) 的特征向量是 α.

例1设 3 阶矩阵的特征值为 1,2,3 ,求 2A3A+2E 的特征值.

A 的特征值全不为 0 ,知 A 可逆,故 A=|A|A1. 而 |A|=λ1λ2λ3=6 ,记

φ(A)=A3A+2E=6A13A+2E.

这里, φ(A) 虽不是矩阵多项式,但也具有矩阵多项式的特性,从而可利用性质 2 (iv) 来计算 φ(A) 的特征值. 由 φ(λ)=6λ13λ+2φ(A) 的特征值为

φ(1)=63+2=5,φ(2)=623×2+2=1,φ(3)=633×3+2=5

性质3

如果 α1α2 是方阵 A 的同一特征值 λ 所对应的特征向量,则 k1α1+k2α2(k1k2 不同 时为零)也是特征值 λ 所对应的特征向量.
证明 由 Aα1=λα1Aα2=λα2

A(k1α1+k2α2)=A(k1α1)+A(k2α2)=k1(Aα1)+k2(Aα2)=k1λα1+k2λα2=λ(k1α1+k2α2)

所以 k1α1+k2α2(k1k2 不同时为零)也是特征值 λ 所对应的特征向量.

性质4

λ1,λ2,,λm 是方阵 Am 个互不相同的特征值, α1,α2,,αm 是依次与之对应的特 征向量, 则

α1,α2,,αm 线性无关. 

性质5

λ1λ2 是矩阵 A 的两个不同的特征值, α1,α2,,αsβ1,β2,,βt 是分别对应 于 λ1λ2 的线性无关的特征向量,则
α1,α2,,αs,β1,β2,,βt 线性无关.

例2λ1λ2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为 α1α2 ,证明 α1+α2 不是 A 的特征向量.

证明 按题设,有 Aα1=λ1α1Aα2=λ2α2 。假设 α1+α2A 的特征向量,则应该存在数 λ ,使

A(α1+α2)=λ(α1+α2)

另一方面,

A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2,

于是 λ(α1+α2)=λ1α1+λ2α2,
(λ1λ)α1+(λ2λ)α2=0.
λ1λ2 ,所以 α1α2 线性无关,从而由上式得 λ1λ=λ2λ=0 ,即 λ1=λ2 ,与题设矛盾. 因此 α1+α2 不是 A 的特征向量.


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