特征值与特征向量的性质
性质1
设 阶矩阵 的特征值为 则
(i) ,
(ii) .
由此可见, 阶方阵 可逆的充分必要条件是 的特征值全不为零.
性质2
若 是方阵 的特征值, 为对应于特征值 的特征向量,则
(1) 是方阵 的特征值( 为非负整数),对应于特征值 的特征向量是 ;
(2) 是方阵 的特征值( 为任意常数),对应于特征值 的特征向量是 ;
(3) 当 可逆时, 是方阵 的特征值,对应于特征值 的特征向量是 ;
(4) 若矩阵 的多项式是 则方阵 的特征值是 (其中 是关于 的多项式),对应于特征值 的特征向量是 .
证明:
因 是方阵 的特征值, 为对应于特征值 的特征向量,故有 于是
(i) ,
所以 是方阵 的特征值,对应于特征值 的特征向量是 .
(ii) ,
所以 是方阵 的特征值,对应于特征值 的特征向量是 .
当 可逆时,特征值均不为零,于是
(iii) ,
所以 是方阵 的特征值,对应于特征值 的特征向量是 .
由(i)可知,
(iii)
所以方阵 的特征值是 对应于特征值 的特征向量是 .
例1
设 3 阶矩阵的特征值为 ,求 的特征值.
解
因 的特征值全不为 0 ,知 可逆,故 . 而 ,记
这里, 虽不是矩阵多项式,但也具有矩阵多项式的特性,从而可利用性质 2 (iv) 来计算 的特征值. 由 得 的特征值为
性质3
如果 与 是方阵 的同一特征值 所对应的特征向量,则 、 不同 时为零)也是特征值 所对应的特征向量.
证明 由 , 得
所以 、 不同时为零)也是特征值 所对应的特征向量.
性质4
设 是方阵 的 个互不相同的特征值, 是依次与之对应的特 征向量, 则
线性无关
性质5
设 和 是矩阵 的两个不同的特征值, 和 是分别对应 于 和 的线性无关的特征向量,则
线性无关.
例2
设 和 是矩阵 的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为 和 ,证明 不是 的特征向量.
证明 按题设,有 , 。假设 是 的特征向量,则应该存在数 ,使
另一方面,
于是 ,
即 .
因 ,所以 和 线性无关,从而由上式得 ,即 ,与题设矛盾. 因此 不是 的特征向量.