最后更新: 2025-01-08 22:07 查看: 527 次反馈刷题

特征值与特征向量的性质

## 特征值与特征向量的性质

### 性质1
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 则
(i) $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$,
(ii) $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|$.
由此可见， $n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 的特征值全不为零.

### 性质2
若 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则
**（1）** $\lambda^k$ 是方阵 $\boldsymbol{A}^k$ 的特征值（ $k$ 为非负整数），对应于特征值 $\lambda^k$ 的特征向量是 $\boldsymbol{\alpha}$ ；

**（2）** $ k \lambda$ 是方阵 $k \boldsymbol{A}$ 的特征值（ $k$ 为任意常数），对应于特征值 $k \lambda$ 的特征向量是 $\alpha$ ；

**（3）**  当 $A$ 可逆时， $\lambda^{-1}$ 是方阵 $A^{-1}$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda^{-1}$的特征向量是$ \boldsymbol{\alpha}$ ；

**（4）** 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的多项式是 $\varphi(\boldsymbol{A})=a_m \boldsymbol{A}^m+\cdots+a_1 \boldsymbol{A}+a_0 \boldsymbol{E}$ 则方阵 $\varphi(\boldsymbol{A})$ 的特征值是 $\varphi(\lambda)$ （其中 $\varphi(\lambda)=a_m \lambda^m+\cdots+a_1 \lambda+a_0$ 是关于 $\lambda$ 的多项式），对应于特征值 $\varphi(\lambda)$的特征向量是 $\alpha$.

**证明：**
因 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，故有 $A \alpha=\lambda \alpha$ 于是
(i) $A^k \alpha=A^{k-1}(A \alpha)=A^{k-1}(\lambda \alpha)=\lambda\left(A^{k-1} \alpha\right)=\lambda A^{k-2}(A \alpha)=\lambda^2 A^{k-2} \alpha=\cdots=\lambda^k \alpha$,
所以 $\lambda^k$ 是方阵 $A^k$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda^k$ 的特征向量是 $\alpha$.
(ii) $(k A) \alpha=k(A \alpha)=k(\lambda \alpha)=(k \lambda) \alpha$,
所以 $k \lambda$ 是方阵 $k \boldsymbol{A}$ 的特征值，对应于特征值 $k \lambda$ 的特征向量是 $\alpha$.

当 $A$ 可逆时，特征值均不为零，于是
(iii) $A^{-1} A=E \Rightarrow A^{-1}(A \alpha)=E \alpha \Rightarrow \lambda A^{-1} \alpha=\alpha \Rightarrow A^{-1} \alpha=\lambda^{-1} \alpha$,
所以 $\lambda^{-1}$ 是方阵 $A^{-1}$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量是 $\alpha$.
由(i)可知，
(iii)

$$
\begin{aligned}
\varphi(\boldsymbol{A}) \boldsymbol{\alpha} & =\left(a_m \boldsymbol{A}^m+\cdots+a_1 \boldsymbol{A}+a_0 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{\alpha}=a_m \boldsymbol{A}^m \boldsymbol{\alpha}+\cdots+a_1 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}+a_0 \boldsymbol{E} \boldsymbol{\alpha} \\
& =a_m \lambda^m \boldsymbol{\alpha}+\cdots+a_1 \lambda \boldsymbol{\alpha}+a_0 \boldsymbol{\alpha}=\left(a_m \lambda^m+\cdots+a_1 \lambda+a_0\right) \boldsymbol{\alpha}=\varphi(\lambda) \boldsymbol{\alpha},
\end{aligned}
$$

所以方阵 $\varphi(\boldsymbol{A})$ 的特征值是 $\varphi(\lambda)$ 对应于特征值 $\varphi(\lambda)$ 的特征向量是 $\boldsymbol{\alpha}$.

`例`设 3 阶矩阵的特征值为 $1,2,3$ ，求 $2 \boldsymbol{A}^*-3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 的特征值.
解
因 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全不为 0 ，知 $\boldsymbol{A}$ 可逆，故 $\boldsymbol{A}^*=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}$. 而 $|\boldsymbol{A}|=\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3=6$ ，记

$$
\varphi(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^*-3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}=6 \boldsymbol{A}^{-1}-3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E} .
$$

这里， $\varphi(\boldsymbol{A})$ 虽不是矩阵多项式，但也具有矩阵多项式的特性，从而可利用性质 2 (iv) 来计算 $\varphi(A)$ 的特征值. 由 $\varphi(\lambda)=6 \lambda^{-1}-3 \lambda+2$ 得 $\varphi(A)$ 的特征值为

$$
\varphi(1)=6-3+2=5, \varphi(2)=\frac{6}{2}-3 \times 2+2=-1, \varphi(3)=\frac{6}{3}-3 \times 3+2=-5 \text {, }
$$

### 性质3
如果 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的同一特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量，则 $k_1 \alpha_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2\left(k_1 、 k_2\right.$ 不同 时为零)也是特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量.
证明 由 $A \alpha_1=\lambda \alpha_1 ， A \alpha_2=\lambda \alpha_2$ 得

$$
\boldsymbol{A}\left(k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2\right)=\boldsymbol{A}\left(k_1 \boldsymbol{\alpha}_1\right)+\boldsymbol{A}\left(k_2 \boldsymbol{\alpha}_2\right)=k_1\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2\right)=k_1 \lambda \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \lambda \boldsymbol{\alpha}_2=\lambda\left(k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2\right)
$$

所以 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2\left(k_1 、 k_2\right.$ 不同时为零)也是特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量.

### 性质4
设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $m$ 个互不相同的特征值， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 是依次与之对应的特 征向量, 则

$$
\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \text { 线性无关. }
$$

### 性质5
设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值， $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 是分别对应 于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的线性无关的特征向量，则
$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关.

`例` 设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ ，证明 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量.

证明 按题设，有 $A \alpha_1=\lambda_1 \alpha_1 ， A \alpha_2=\lambda_2 \alpha_2$ 。假设 $\alpha_1+\alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量，则应该存在数 $\lambda$ ，使

$$
\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=\lambda\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)
$$

另一方面，

$$
\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2,
$$

于是 $\lambda\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2$,
即 $\left(\lambda_1-\lambda\right) \alpha_1+\left(\lambda_2-\lambda\right) \boldsymbol{\alpha}_2=0$.
因 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，所以 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关，从而由上式得 $\lambda_1-\lambda=\lambda_2-\lambda=0$ ，即 $\lambda_1=\lambda_2$ ，与题设矛盾. 因此 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量.

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