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向量坐标表示法
日期:
2023-08-29 20:47
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向量坐标表示法 如果 $e_1, e_2$ 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 $a$ ,有且只有一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$ 使得 $a=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$ 则 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 被称作基底。 上面定义比较拗口,以数轴为例,我们以" $\mathbf{1}$ "为单位,那么就可以表示数轴上所有的点,例如2可以认为是 2 个" $\mathbf{1}^{\prime \prime}$ , 而 $0.5$ 可以认为是半个 $\mathbf{1}$ 。 **正交分解坐标系** 向量的起源来自于物理,因此对于向量的理解很大程度上也是受到物理的启发。 下图1是一个物体静止停在斜面上,分析它的受力情况主要有3个力: 向下的重力G,斜面的支持力N,和向上的摩擦力f。 既然物体静止,表示他受力平衡,所以,任何两个力的和都等于第三个力,因此 $\\( N+f=G ...(1) \\) $ G可以分解为斜面向下的力**\\( F\_下 \\) ** 和 垂直于斜面的力 **\\( F\_N \\) **,根据受力平衡, 也就是可以把重力G分解为垂直的两个力。  把上面物理的结论移到数学上,用数学语言定义就是: 一个向量分解为两个互相垂直的向量,这叫做把向量的正交分解。 为什么使用正交分解?原因是正交分解方便问题的研究。 事实上你建立下面的粉红色的坐标系也是可以的,但是这时候,你需要把 N,G,f 都要投影在这些坐标系上,显然不方便 运算。  直角坐标系 在正交坐标系里里,通常去 $i, j$ 来表示基底。那么就可以得出: $\boldsymbol{a}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 参考下图  三维空间向量 在空间里,可以把一个向量分解为三个方向的向量: $i, j, k$ 这里 $\boldsymbol{i}=(1,0,0), \boldsymbol{j}=(0,1,0), \boldsymbol{j}=(0,0,1)$ 
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2023-08-29 20:47
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