向量坐标表示法

日期: 2023-08-29 20:47 查看: 120 次

向量坐标表示法
如果 $e_1, e_2$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 $a$ ，有且只有一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$ 使得 $a=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$ 则 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 被称作基底。
上面定义比较拗口，以数轴为例，我们以" $\mathbf{1}$ "为单位，那么就可以表示数轴上所有的点，例如2可以认为是 2 个" $\mathbf{1}^{\prime \prime}$ ， 而 $0.5$ 可以认为是半个 $\mathbf{1}$ 。

**正交分解坐标系**

向量的起源来自于物理，因此对于向量的理解很大程度上也是受到物理的启发。

下图1是一个物体静止停在斜面上，分析它的受力情况主要有3个力：

向下的重力G，斜面的支持力N，和向上的摩擦力f。

既然物体静止，表示他受力平衡，所以，任何两个力的和都等于第三个力，因此

$\$ N+f=G  ...(1) \$ $

G可以分解为斜面向下的力**\$ F\_下 \$ ** 和 垂直于斜面的力 **\$ F\_N \$ **,根据受力平衡，

也就是可以把重力G分解为垂直的两个力。

![](../uploads/2022-10/3105fd.jpg)

把上面物理的结论移到数学上，用数学语言定义就是：

一个向量分解为两个互相垂直的向量，这叫做把向量的正交分解。

为什么使用正交分解？原因是正交分解方便问题的研究。

事实上你建立下面的粉红色的坐标系也是可以的，但是这时候，你需要把 N,G,f 都要投影在这些坐标系上，显然不方便

运算。

![](../uploads/2022-10/e6062e.jpg)

直角坐标系
在正交坐标系里里，通常去 $i, j$ 来表示基底。那么就可以得出： $\boldsymbol{a}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 参考下图
![](../uploads/2022-10/50d776.jpg)
三维空间向量
在空间里，可以把一个向量分解为三个方向的向量: $i, j, k$ 这里 $\boldsymbol{i}=(1,0,0), \boldsymbol{j}=(0,1,0), \boldsymbol{j}=(0,0,1)$
![](../uploads/2022-10/b9d98d.svg)

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