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线性代数
第七篇 二次型与正定型
用配方法化二次型为标准形
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管理员于2024-09-06 18:54
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用配方法化二次型为标准形
## 用配方法化二次型为标准形 化二次项为标准型是《线性代数》考试必考的内容,通常有两种方法:配方法和初等变换法。 下面的例题给出了化为标准型的方法,但是整个解题过程过于晦涩,很多同学还是看不懂,建议看B站宋浩老师的讲解,地址是: [https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=54](https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=54) 在处理二次项时,先处理$x_1$,$x_2$, $x_3$ ..., 一旦处理完$x_1$,$x_1$,他就不再参与后面的配方项。 **例1** 化二次型 $$ f=x_1^2+2 x_2^2+5 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+6 x_2 x_3 $$ 成标准形,并求所用的变换矩阵. **解** 由于 $f$ 中含变量 $x_1$ 的平方项,故把含 $x_1$ 的项归并起来,配方可得 $$ \begin{aligned} f & =x_1^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2^2+5 x_3^2+6 x_2 x_3 \\ & =\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-x_2^2-x_3^2-2 x_2 x_3+2 x_2^2+5 x_3^2+6 x_2 x_3 \\ & =\left(x_1+x_2+x_3\right)^2+x_2^2+4 x_3^2+4 x_2 x_3, \end{aligned} $$ 上式右端除第一项外已不再含 $x_1$. 继续配方,可得 $$ f=\left(x_1+x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+2 x_3\right)^2 \text {. } $$ 令 $\left\{\begin{array}{lr}y_1= & x_1+x_2+x_3, \\ y_2 & x_2+2 x_3, \\ y_3 & x_3,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x_1=y_1-y_2+y_3, \\ x_2=y_2-2 y_3, \\ x_3=y_3,\end{array}\right.$ 就把 $f$ 化成标准形 (规范形) $f=y_1^2+y_2^2$ ,所用变换矩阵为 $$ \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)(|\boldsymbol{C}|=1 \neq 0) $$ **例2** 化二次型 $$ f=2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-6 x_2 x_3 $$ 成规范形, 并求所用的变换矩阵. 解 在 $f$ 中不含平方项. 由于含有 $x_1, x_2$ 乘积项,故令 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=y_1+y_2, \\ x_2=y_1-y_2, \\ x_3=y_3, \end{array} \text { ,即 }\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array}\right)\right. \text { , } $$ 代入可得 $f=2 y_1^2-2 y_2^2-2 y_1 y_3+10 y_2 y_3$. 再配方,得 $$ f=2\left(y_1-\frac{1}{2} y_3\right)^2-2\left(y_2-\frac{5}{2} y_3\right)^2+12 y_3^2 \text {. } $$ 令 $$ \left\{\begin{array}{l} z_1=y_1-\frac{1}{2} y_3, \\ z_2=y_2-\frac{5}{2} y_3, \\ z_3=y_3, \end{array}\right. $$ 于是 $$ \left\{\begin{array}{l} y_1=z_1+\frac{1}{2} z_3, \\ y_2=z_2+\frac{5}{2} z_3, \\ y_3=z_3, \end{array} \text { ,即 }\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{array}\right)\right. \text { , } $$ $$ \text { 于是,二次型化为标准形 } f=2 z_1^2-2 z_2^2+12 z_3^2 \text {. } $$ 再另 $$ \left\{\begin{array}{l} w_1=\sqrt{2} z_1, \\ w_2=\sqrt{2} z_2, \\ w_3=\sqrt{12} z_3, \end{array}, \quad \text { 即 }\left(\begin{array}{l} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{12}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right) ,\right. $$ 就把二次型化为了规范形 $$ f=w_1^2-w_2^2+w_3^2, $$ 所用变换矩阵为 $$ \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{12}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{12}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{2}{\sqrt{12}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{12}} \end{array}\right) \quad\left(|\boldsymbol{C}|=-\frac{1}{\sqrt{12}} \neq 0\right) $$
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