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用配方法化二次型为标准形

## 用配方法化二次型为标准形

化二次项为标准型是《线性代数》考试必考的内容，通常有两种方法：配方法和初等变换法。
下面的例题给出了化为标准型的方法，但是整个解题过程过于晦涩，很多同学还是看不懂，建议看B站宋浩老师的讲解，地址是：
[https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=54](https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=54)
在处理二次项时，先处理$x_1$,$x_2$, $x_3$ ..., 一旦处理完$x_1$,$x_1$，他就不再参与后面的配方项。

**例1** 化二次型

$$
f=x_1^2+2 x_2^2+5 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+6 x_2 x_3
$$

成标准形，并求所用的变换矩阵.
**解** 由于 $f$ 中含变量 $x_1$ 的平方项，故把含 $x_1$ 的项归并起来，配方可得

$$
\begin{aligned}
f & =x_1^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2^2+5 x_3^2+6 x_2 x_3 \\
& =\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-x_2^2-x_3^2-2 x_2 x_3+2 x_2^2+5 x_3^2+6 x_2 x_3 \\
& =\left(x_1+x_2+x_3\right)^2+x_2^2+4 x_3^2+4 x_2 x_3,
\end{aligned}
$$

上式右端除第一项外已不再含 $x_1$. 继续配方,可得

$$
f=\left(x_1+x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+2 x_3\right)^2 \text {. }
$$

令 $\left\{\begin{array}{lr}y_1= & x_1+x_2+x_3, \\ y_2 & x_2+2 x_3, \\ y_3 & x_3,\end{array}\right.$
即 $\left\{\begin{array}{l}x_1=y_1-y_2+y_3, \\ x_2=y_2-2 y_3, \\ x_3=y_3,\end{array}\right.$

就把 $f$ 化成标准形 (规范形) $f=y_1^2+y_2^2$ ，所用变换矩阵为

$$
\boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)(|\boldsymbol{C}|=1 \neq 0)
$$

**例2**  化二次型

$$
f=2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-6 x_2 x_3
$$

成规范形, 并求所用的变换矩阵.
解 在 $f$ 中不含平方项. 由于含有 $x_1, x_2$ 乘积项，故令

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=y_1+y_2, \\
x_2=y_1-y_2, \\
x_3=y_3,
\end{array} \text { ，即 }\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{array}\right)\right. \text { ， }
$$

代入可得 $f=2 y_1^2-2 y_2^2-2 y_1 y_3+10 y_2 y_3$.
再配方，得

$$
f=2\left(y_1-\frac{1}{2} y_3\right)^2-2\left(y_2-\frac{5}{2} y_3\right)^2+12 y_3^2 \text {. }
$$

令

$$
\left\{\begin{array}{l}
z_1=y_1-\frac{1}{2} y_3, \\
z_2=y_2-\frac{5}{2} y_3, \\
z_3=y_3,
\end{array}\right.
$$

于是

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1=z_1+\frac{1}{2} z_3, \\
y_2=z_2+\frac{5}{2} z_3, \\
y_3=z_3,
\end{array} \text { ，即 }\left(\begin{array}{l}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & 1 & \frac{5}{2} \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
z_1 \\
z_2 \\
z_3
\end{array}\right)\right. \text { ， }
$$

$$
\text { 于是，二次型化为标准形 } f=2 z_1^2-2 z_2^2+12 z_3^2 \text {. }
$$

再另
$$
\left\{\begin{array}{l}
w_1=\sqrt{2} z_1, \\
w_2=\sqrt{2} z_2, \\
w_3=\sqrt{12} z_3,
\end{array}, \quad \text { 即 }\left(\begin{array}{l}
z_1 \\
z_2 \\
z_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \\
0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{12}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
w_1 \\
w_2 \\
w_3
\end{array}\right) ，\right.
$$

就把二次型化为了规范形

$$
f=w_1^2-w_2^2+w_3^2,
$$

所用变换矩阵为

$$
\boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & 1 & \frac{5}{2} \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \\
0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{12}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{12}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{2}{\sqrt{12}} \\
0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{12}}
\end{array}\right) \quad\left(|\boldsymbol{C}|=-\frac{1}{\sqrt{12}} \neq 0\right)
$$

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