集合趣谈

日期: 2023-01-15 08:39 查看: 164 次

**引子**
整数和偶数一样多是怎么回事？
集合在数学中占用重要的地位，在初中数学里，我们知道整数包含了偶数和奇数，如果我们说整数和偶数一样多，第一感觉肯定是错误的，因为整数里，去掉了偶数还有一半奇数。 但是如果从集合的观点看，则整数和偶数一样“多”并不完全错误的。

在集合里，要比较有限集的大小，我们可以直接比较每个集元素的总数目。因为有限集的元素既然是有限个，它的数目就是一个确定的自然数，我们直接比较这两个代表元素数目的自然数大小就行了。

但是，要比较无限集的大小，上述办法就失效了。很清楚，无限集元素有无限多个，我们无法直接比较它的元素数目。因此，数学家采取了另外一种比较办法：

对于集 $A$ 和集 $B$ ，假如对于 $A$ 中的任意一个元素，都能从 $B$ 中找到一个元素与之对应，反过来，对于 $B$ 中的任意一个元素，也都能从 $A$ 中找到一个元素与之对应，就称 $A, B$ 「一样大」，或者元素「一样多」。

显然地，对于有限集，上述比较办法的结论仍然是成立的，因此，我们可以把上述办法视为一个升级版或者推广版。

如果按上述办法来比较整数集Q和偶数集的大小，结论将是两者「一样大」。因为我们可以建立一 种函数关系: $f: n \mapsto 2 n$, 将整数集中的每一个 $n$ 映射为偶数集中的 $2 n$, 反过来，也可以用另 一个函数关系: $f^{-1}: 2 n \mapsto n$, 将偶数集中的每一个 $2 n$ 映射为整数集中的 $n$, 如此，我们就在 两个集合之间建立了一一对应的关系，于是可以断言：整数与偶数一样多。

不仅如此，事实上，按照上述思想可以证明: 所有可数集 $Q$ 都是「一样大」 (等势) 的。也就是 说，整数、偶数、奇数，甚至包括有理数在内，他们都一样多。
这样的结论的确有点反直觉，因为它与我们的日常经验：部分总是小于全体相悖! 这毫不奇怪，在 康托尔Q创立集合论之初，它发现的这些古怪结论也得不到数学界的接受，据说这直接导致了康托 尔的精神病。现在，人们接受了集合论的思想，并不是因为人们已经从直觉上理解了它，而只是因 为通过检视它在逻辑上无可挑剔。

当然，更专业的说法，集合论中，比较集合的是“势”（地势高低的势），是通过一一对应进行的。两个可以一一对应的集合称为等势，即“元素个数”一样多。由于整数与偶数可以建立一一对应，所以整数和偶数集合等势，即整数和偶数一样多。

**希尔伯特旅馆**

我们设想有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了一位新客，想订个房间，“对不起”，旅馆主人说，“所有的房间都住满了。”

再设想另一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了。这时也有一位新客，想订个房间。“不成问题！”旅馆主人说。接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的1号房间。

我们再设想一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都住满了客人。这时又来了无穷多位要求订房间的客人。“好的，先生们，请等一会儿。”旅馆主人说。

于是他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去。所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人可以住进去，问题解决了！

此时，又来了无穷多个旅行团，每个旅行团有无穷多个旅客，只见这个老板不慌不忙，让原来的旅客1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号。这样，1号，3号，5号……所有非2^n^(n∈N^+^)号房间就都空出来了。

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