最后更新: 2025-05-01 21:25 查看: 753 次反馈刷题

二维均匀分布

### 引入
对于初学者刚学习二维均匀分布时，最容易产生的一个疑问是：为什么要学习均匀分布？他有什么用？ 
对于均匀分布必须结合本课程后面统计学来看。比如看一个简单的例子，雨点均匀的落在盘子里，基本上不需要额外的知识，我们本能的就能感觉，雨点落在每个地方的几率是一样的，假设盘子是正方形，其半径为$a$,那么正方形的面积就是$a^2$,这样，每一点的概率就是$\frac{1}{a^2}$,
同样的，如果盘子是圆，半径为$r$，盘子的面积就是$\pi r^2$,那么每一点的概率就是$\frac{1}{\pi r^2}$,由此推出如果盘子的面积为$S$，每一点的概率就是$\frac{1}{S}$. 这种推理是正确的，但是我们需要更抽象这种定义。正方形，圆都是比较简单的图像，如果盘子的图形是各种不规则图形呢？这时就需要采用微积分的思想来计算面积。

还必须注意一点：像雨点落在盘子上这种分布是很容易想到是二维均匀分布的，但是在实际中，我们拿到一个事件可能并不容易得到他是一个什么分布，比如车轮在马路上行驶，已知车轮面积是S，每一点的概率是$\frac{1}{S}$,那么，我们就可以倒推过去，说这个车轮是二维均匀分布。

## 二维均匀分布
根据多维随机变量的性质，假设$f(x,y)$为二维均匀分布密度函数，那么他的密度函数应该满足下面两个条件：
性质① $f(x, y) \geq 0$
性质② $ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y d x=1$

既然叫做“均匀分布”，我们有理由相信，密度函数在各点的密度应该相等(否则就不可能叫均匀分布了，比如雨滴落在圆板上，圆板上各点受到的雨滴几率相等)，因此，我们假设二维均匀密度函数为

$$
f(x, y)= \begin{cases}c, & x^2+y^2 \le r^2 ， \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

现在，我们要计算$c$的值为多少。根据密度函数“性质②”应该有

$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} c  dy d x=1 $ ，其中，定义域为 $x^2+y^2 \le r^2$ 的圆,

这是一个简单的[二重积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=406), 因为$c$是常数，可以直接提到外面，即

c$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}   dy d x=1 $ ,$dydx$ 是面积元，积分后得 $c \pi r^2=1$ ，所以
$c=\frac{1}{\pi r^2}$ ，即下图圆柱的高为$\frac{1}{\pi r^2}$

![图片](/uploads/2024-11/6441f5.jpg){width=200px}

因此圆盘的二维均匀密度函数为

$$
f(x, y)= \begin{cases}\dfrac{1}{\pi r^2}, & x^2+y^2 \le r^2 ， \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

> 在上面举的例子里，雨滴随机的落在半径为$r$的圆上，从几何概率的角度也可以猜想，各个点密度为$\dfrac{1}{\pi r^2}$，即面积的倒数。(同理可以推出，一维是长度的倒数，二维是面积的倒数，三维是体积的倒数)

下面给出具体的定义。

**定义1** 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{A}, & (x, y) \in G, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

其中 $G$ 是平面 $x o y$ 上的某个区域, A 为区域的面积, 则称随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的二维均匀分布.

二维均匀分布所描述的随机现象就是向平面区域 $G$ 中随机投点, 如果该点坐标 $(X, Y)$ 落在 $G$ 的概率只与 $G$ 的面积有关, 而与 $G$ 的位置无关, 这就是均匀分布。

`例`设 $(X, Y)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布，其中 $D: x \geqslant y, 0 \leqslant x \leqslant 1, y \geqslant 0$ ，求 $P\{X+Y \leqslant 1\}$ ．
分析：拿到均匀分布，最主要是画出图，如下
 ![图片](/uploads/2025-05/b9fc74.jpg)
 因为均匀分布的密度函数就是面积的，就本题而言就是需要求出上图阴影面积。
 
 【2．7】
解法一 因为 $D$ 的面积 $A=\frac{1}{2}$ ，所以 $(X, Y)$ 的概率密度为

则

$$
\begin{aligned}
f(x, y) & = \begin{cases}2, & (x, y) \in D \\
0, & \text { 其他 }\end{cases} \\
P\{X+Y \leqslant 1\} & =\iint_{x+y \leqslant 1} f(x, y) d x d y \\
& =\iint_{D_1} 2 d x d y \quad(\text { 如图 } 3-2.7) \\
& =2 \times \frac{1}{4}=\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$

解法二 可利用几何概率计算

$$
P\{X+Y \leqslant 1\}=\frac{S\left(D_1\right)}{S(D)}=\frac{1}{2} .
$$

> 点评 二维均匀分布求概率有时候利用几何概型来计算，更加简便．

## 例题

`例` 设 $(X, Y)$ 服从单位圆域 $x^2+y^2 \leqslant 4$ 上的均匀分布, 求 $(X, Y)$ 的概率密度及 $P(0<X<1,0<Y<1)$.

解 圆域 $x^2+y^2 \leqslant 4$ 的面积 $A=4 \pi$, 故 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{4 \pi}, & x^2+y^2 \leqslant 4 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array},\right.
$$

$G$ 为由不等式 $0<x<1$ 和 $0<y<1$ 所确定的区域, 所以

$$
P(0< X < 1,0 < Y < 1)=\iint_G f(x, y) d x d y=\int_0^1 d x \int_0^1 \frac{1}{4 \pi} d y=\frac{1}{4 \pi} .
$$

`例`设 $D$ 为平面上以原点为圆心、以 $r$ 为半径的圆内区域, 如今向该圆内随机投点, 其坐标 $(X, Y)$ 服从 $D$ 上的二维均匀分布，其密度函数为

$$
p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{\pi r^2}, & x^2+y^2 \leqslant r^2, \\
0, & x^2+y^2>r^2 .
\end{array}\right.
$$

试求概率 $P(|X| \leqslant r / 2)$.
解 $p(x, y)$ 的非零区域与 $\{|X| \leqslant r / 2\}$ 的交集部分见图, 因此所求概率为
 ![图片](/uploads/2024-11/de4dab.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
P\left(|X| \leqslant \frac{r}{2}\right) & =\int_{-r / 2}^{r / 2} \int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} \frac{1}{\pi r^2} d y d x=\frac{1}{\pi r^2} \int_{-r / 2}^{r / 2} 2 \sqrt{r^2-x^2} d x \\
& =\left.\frac{1}{\pi r^2}\left[x \sqrt{r^2-x^2}+r^2 \arcsin \frac{x}{r}\right]\right|_{-r / 2} ^{1 / 2} \\
& =\frac{1}{\pi r^2}\left(r \sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}+2 r^2 \arcsin \frac{1}{2}\right) \\
& =\frac{1}{\pi}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=0.609 .
\end{aligned}
$$

`例` 设 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，其中 $G=\{(x, y): 0<x<1$ 且 $0<y<2 x\}$
（1）写出$f(x,y)$的联合密度函数
（2）计算概率

解：(1)因区域的面积为 1 ，故由定义得联合密度函数为: $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}1 & (x, y) \in G, \\ 0 & \text { 其他. }\end{array}\right.$

![图片](/uploads/2023-01/image_202301032611508.png)
(2) 所求概率为

$$
P(Y \leq X)=P((X, Y) \in D)=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_D 1 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=S_D=\frac{1}{2}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103fffb8c1.png)

`例` 设 $(X, Y) \sim G$ 上的均匀分布，其中

$$
G=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1\}
$$

(1)求 $f(x, y)$ ；
(2)求 $P\left(Y>X^2\right)$;
(3)求 $( X , Y )$ 在平面上的落点到 y 轴距离小于 0.3 的概率

解：画出积分区域
 
 （1）
 ![图片](/uploads/2024-11/fd5ad0.jpg){width=300px}
 $$
 \begin{aligned}
&  G=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1\} \\
& f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
2, & 0 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

(2)
![图片](/uploads/2024-11/ee313d.jpg){width=200px}
$$
\begin{aligned}
& P\left(Y>X^2\right) \\
& =\int_0^1 d x \int_{x^2}^x 2 d y \\
& =\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$
 
 
  (3)
  ![图片](/uploads/2024-11/c7acd6.jpg)

$$
\begin{aligned}
& P(|X|<0.3) \\
= & P(-0.3<X<0.3) \\
= & 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot(0.3)^2=0.09
\end{aligned}
$$
 
> 二维均匀分布涉及到二重积分的计算，如果要查看二重积分，请点击 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=234)

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