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概率论与数理统计
第四篇 卷积定理与生成函数
阅读:傅里叶变换与概率论
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2025-05-02 08:58
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阅读:傅里叶变换与概率论
> **本节属于高深内容,仅供了解即可** 在概率论中,我们经常会看到很多复杂的公式,包括概率密度公式,分布函数公式,一个简单的问题是:这些公式是怎么得到的?一个常见的解决方法是使用傅里叶变换。 给定一个函数 $K(x, y)$ 和一个区间 $I$(通常是 $(-\infty, \infty)$ 或 $[0, \infty)$ ),我们可以构造一个从函数到函数的映射,如下所示: $$ ( K f)(y):=\int_I f(x) K(x, y) d x $$ 由于被积函数与两个变量 $x$ 和 $y$ 都有关,而我们只对 $x$ 积分,所以最终的结果是关于 $y$ 的函数。显然,用什么字母来表示虚拟变量并不重要,其他常见写法有 $K(t, x), ~ K(t, s)$ 或者 $K(x, \xi)$ 。我们把 $K$ 称为核,新函数称为 $f$ 的**积分变换**. 积分变换对于研究各种问题都很有用。它们的效用源于这样一个事实:相关函数会使得手头问题的代数运算更加简单。我们定义了两个最重要的积分变换,即拉普拉斯变换和傅里叶变换。 定义 (**拉普拉斯变换**)设 $K(t, s)= e ^{-t s} . f$ 的拉普拉斯变换记作 $L f$ ,被定义为 $$ ( L f)(s)=\int_0^{\infty} f(t) e^{-s t} d t $$ 对于给定的函数 $g$ ,它的拉普拉斯逆变换,记作 $L ^{-1} g$ ,就是 $$ \left( L ^{-1} g\right)(t)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i T}^{c+i T} e^{s t} g(s) d s=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-T}^T e^{(c+i \tau) t} g(c+i \tau) i d \tau $$ 定义 (**傅里叶变换或称特征函数**)设 $K(x, y)= e ^{-2 \pi i x y} . f$ 的傅里叶变换记作 $F f$ 或 $\widehat{f}$ ,其定义为 $$ \widehat{f}(y):=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x y} d x, $$ 其中 $$ e^{i \theta}:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i \theta)^n}{n!}=\cos \theta+i \sin \theta $$ $g$ 的傅里叶逆变换,记作 $F ^{-1} g$ ,就是 $$ \left( F ^{-1} g\right)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} g(y) e^{2 \pi i x y} d y . $$ 注意,其他教材对傅里叶变换有不同的定义,有时会利用 $K(x, y)= e ^{-i x y}$ 或 $K(x, y)= e ^{-i x y} / \sqrt{2 \pi}$ . 拉普拉斯变换和傅里叶变换是相关的.令 $s=2 \pi i y$ 并考虑函数 $f(x)$ ,其中,当 $x \leqslant 0$ 时 $f(x)=0$ .那么,我们会看到 $f$ 的拉普拉斯变换和傅里叶变换是相等的. 在这里,我们把 $f$ 的傅里叶变换写成 $$ \widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x y} d x, $$ 定义(**施瓦兹空间**)施瓦兹空间(记作 $S ( R )$ )是全体满足下列条件的无限可微函数 $f$ 构成的集合:对于任意的非负整数 $m$ 和 $n$ ,有 $$ \sup _{x \in R }\left|\left(1+x^2\right)^m \frac{d^n f}{d x^n}\right|<\infty, $$ 其中, $\sup _{x \in R }|g(x)|$ 是使得"$|g(x)| \leqslant B$ 对所有 $x$ 均成立"的最小的数 $B$(每当看到 $\sup$ 时,你就应该想到"最大值")。 定理 (**反演定理**)设 $f \in S ( R )$ ,其中 $S ( R )$ 是施瓦兹空间.那么 $$ f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(y) e^{2 \pi i x y} d y $$ 其中 $\widehat{f}$ 是 $f$ 的傅里叶变换.特别地,如果 $f$ 和 $g$ 都是施瓦兹函数,并且它们的傅里叶变换相同,那么 $f(x)=g(x)$ . 傅里叶变换的一个重要性质是在卷积的作用下它具有很好的性质。回忆一下,两个函数 $f$ 和 $g$ 的卷积记作 $h=f * g$ ,其中 $$ h(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) g(x-t) d t=\int_I f(x-t) g(t) d t . $$ 我们自然会问:为了确保卷积存在,$f$ 和 $g$ 必须满足哪些条件?对我们来说,$f$和 $g$ 都是概率密度函数。因此,它们都是非负的且积分值都等于 1 .虽然这是确保 $h=f * g$ 的积分值为 1 所需要的条件,但并不足以保证 $f * g$ 是有限的.我们先来证明它的积分值为 1 .因为被积函数是非负的,所以可以交换积分次序.注意,对于每一个 $x$ ,积分值要么是非负的,要么是正无穷.我们有 $$ \begin{aligned} \int_{x=-\infty}^{\infty}(f * g)(x) d x & =\int_{x=-\infty}^{\infty} \int_{t=-\infty}^{\infty} f(t) g(x-t) d t d x \\ & =\int_{t=-\infty}^{\infty} f(t)\left[\int_{x=-\infty}^{\infty} g(x-t) d x\right] d t \end{aligned} $$ 括号里的积分是 1 .如果愿意的话,你可以做变量替换,令 $u=x-t, d u= d x$ .现在我们正在计算一个概率密度函数在 $-\infty$ 到 $\infty$ 上的积分,这个值始终为 1 .接下来只剩下了 $$ \int_{x=-\infty}^{\infty}(f * g)(x) d x=\int_{t=-\infty}^{\infty} f(t) d t=1, $$ 得到这个结果同样是因为概率密度函数在 $-\infty$ 到 $\infty$ 上的积分值为 1 .这意味着,只有在测度(或长度)为无穷大的集合上,非负函数 $(f * g)(x)$ 的值才等于 0 。如果不熟悉测度论也不必担心,这里还有另外一种说法:对于任意的 $M,\{x:(f * g)(x)>M\}$的长度不超过 $1 / M$ ;否则,积分值就会大于 1 . 这证明了对几乎所有的 $x,(f * g)(x)$ 都是有限的.$f$ 和 $g$ 必须满足哪些条件,才能保证对所有的 $x$ ,其卷积始终是有限的?如果假设 $f$ 和 $g$ 是平方可积的,即 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)^2 d x$ 和 $\int_{-\infty}^{\infty} g(x)^2 d x$ 都是有限的,那么 $f * g$ 在每一点处都有很好的性质。稍后我们将看到如何利用柯西-施瓦兹不等式来推出这一点 **柯西-施瓦兹不等式**:对于复值函数 $f$ 和 $g$ , $$ \int_{-\infty}^{\infty}|f(x) g(x)| d x \leqslant\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 d x\right)^{1 / 2} \cdot\left(\int_{-\infty}^{\infty}|g(x)|^2 d x\right)^{1 / 2} $$ $f$ 和 $g$ 是平方可积的这一假设非常弱,我们研究的所有标准概率密度函数都能满足.即使不满足平方可积的条件,这通常也没什么问题.例如,令 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2 \sqrt{x}} & \text { 若 } 0<x \leqslant 1 \\ 0 & \text { 其他, }\end{cases} $$ 那么,$f$ 可积但不是平方可积的,这是因为 $\int_0^1 d x / x$ 趋向于无穷大.也就是说,$f$ 与自身的卷积是很好的.在做"一些"积分运算之后,你会发现 $$ (f * f)(y)= \begin{cases}\pi / 4 & \text { 若 } 0<y \leqslant 1 \\ (\operatorname{arccsc}(\sqrt{y})-\arctan (\sqrt{y-1})) / 2 & \text { 若 } 1<y<2 \\ 0 & \text { 其他. }\end{cases} $$ 现在陈述一个很好的结果.正因为如此,傅里叶变换才会在概率论中如此普遍.这是一个非常重要的结果,我们会给出完整的证明. ## 卷积与傅里叶变换 定理 (**卷积与傅里叶变换**)设 $f$ 和 $g$ 都是 $R$ 上的连续函数.如果 $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 d x$ 和 $\int_{-\infty}^{\infty}|g(x)|^2 d x$ 都是有限的,那么 $h=f * g$ 存在,并且 $\widehat{h}(y)=\widehat{f}(y) \widehat{g}(y)$ .因此,傅里叶变换将卷积转换为乘法运算. **引理** 设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度函数分别是 $f$ 和 $g$ .设 $f$ 和 $g$ 均是平方可积的概率密度函数,那么 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)^2 d x$ 和 $\int_{-\infty}^{\infty} g(x)^2 d x$ 是有限的.因此,$f * g$ 是 $X_1+X_2$ 的概率密度函数.更一般地,如果 $X_1, \cdots, X_N$ 是相互独立的随机变量,它们的概率密度函数 $p_1, \cdots, p_N$ 都是平方可积的,那么 $p_1 * p_2 * \cdots * p_N$ 是 $X_1+\cdots+X_N$ 的概率密度函数. 虽然本节介绍了大量内容和结果,但我们开始看到整体框架了.如果给出 $N$个相互独立且概率密度函数分别为 $p_1, \cdots, p_N$ 的随机变量,那么变量和的概率密度函数就是 $p=p_1 * \cdots * p_N$ 。乍一看,这个等式好像很可怕(对于 $N$ 个服从指数分布的随机变量,其概率密度函数的卷积是什么?),但这里有一个显著的简化过程.根据卷积的傅里叶变换就是傅里叶变换的乘积,我们看到 $\widehat{p}(y)=\widehat{p}_1(y) \cdots \widehat{p}_N(y)$ .在随机变量服从同一个分布的特殊情况下,这又进一步简化为 $\widehat{p}_1(y)^N$ .此时,为了证明当所有概率密度函数都相等时的中心极限定理,我们"只需要"(遗憾的是,其中包含了很多内容)证明:当 $N \rightarrow \infty$ 时,$\widehat{p}_1(y)^N$ 会收玫到某个正态分布的傅里叶变换 (记住,这个和没有标准化),而且傅里叶逆变换被唯一确定且服从正态分布.
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