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几类特殊的函数
日期:
2022-12-27 12:04
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例1 函数 $y=C$ ,其中 $C$ 为某确定的常数. 它的定义域为 $D=(-\infty,+\infty)$ ,值域 为 $W=\{C\}$ ,它的图形是一条平行于 $x$ 轴的直线(见图1-30),这个函数称为常 数函数. 例2 函数 $y=|x|=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \geq 0 \\ -x, & x<0\end{array}\right.$ 的定义域为 $D=(-\infty,+\infty)$ ,值域 $W=[0,+\infty)$ , 它的图形 如图1-31所示,这个函数称为绝对值函数.  例3 函数 $y=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cc}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0\end{array}\right.$ 的定义域为 $D=(-\infty,+\infty)$ ,值域 $W=\{-1,0,1\}$ , 它的图形如图1-32所示, 这个函数称为符号函数.  例 4 设 $x$ 为任一实数,不超过 $x$ 的最大整数称 为 $x$ 的整数部分,记作 $[x]$. 函数 $y=[x]$ 的定义域 为 $D=(-\infty,+\infty)$ ,值域为整数集 $\mathbf{Z}$ ,它的图形如图133所示. 可以看出,它的图形在 $x$ 的整数值处出 现跳跃,而跃度为 1 ,这个函数称为取整函数. 比如, $[0.5]=0 ,[\sqrt{3}]=1 ,[-0.5]=-1$, 一般地,有 $[x]=n$ ,当 $x \in[n, n+1) \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$  在例2、例3 等例子中看到, 有时一个函数要用几个式子表示, 这种自变量在不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数. 分段函数在实际问题中经常出现, 我们应重视对它的研究. 例5 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^3, & x \geq 1, \\ x-1, & x<1\end{array}\right.$ 是一个分段函数, 它的定义域 $D=(-\infty,+\infty)$. 当 $x \in(-\infty, 1)$ 时,对应的函数值 $f(x)=x-1$ ; 当 $x \in[1,+\infty)$ 时,对应的函数值 $f(x)=x^3$. 它的图形如图134所示. 例如 $-1 \in(-\infty, 1)$ ,则 $f(-1)=-1-1=-2 ; 1 \in[1,+\infty)$ 则 $f(1)=1^3=1$. 
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2022-12-27 12:04
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