最后更新: 2025-04-14 19:54 查看: 424 次反馈刷题

复数的三角形式及乘除法表示

## 复数的三角表示
如果非零复数 $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$ 在复平面内对应点 $Z(a, b)$, 且 $r$ 为向量 $\overrightarrow{O Z}$ 的模, $\theta$ 是以 $x$ 轴正半轴为始边、射线 $O Z$ 为终边的一个角, 则

$$
r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},
$$

根据任意角余弦、正弦的定义可知

$$
\cos \theta=\frac{a}{r}, \sin \theta=\frac{b}{r} .
$$

![图片](/uploads/2024-09/5c0375.jpg)

因此 $a=r \cos \theta, b=r \sin \theta$, 如上图所示, 从而

$$
z=a+b \mathrm{i}=(r \cos \theta)+(r \sin \theta) \mathrm{i}=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta),
$$

上式的右边称为非零复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 的**三角形式** (对应地, $a+b \mathrm{i}$ 称为复数的**代数形式**), 其中的 $\theta$ 称为 $z$ 的**辐角**.

显然, 任何一个非零复数 $z$ 的辐角都有无穷多个, 而且任意两个辐角之间都相差 $2 \pi$ 的整数倍. 特别地, 在 $[0,2 \pi)$ 内的辐角称为 $z$ 的**辐角主值**, 记作 $\arg z$.

为了求出一个非零复数的三角形式, 只要求出这个复数的模, 然后再找
出复数的一个辐角 (比如辐角主值) 即可. 例如, 对于复数 $z=1+\sqrt{3} \mathrm{i}$ 来说, 因为

$$
|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2, \cos \theta=\frac{1}{2}, \quad \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2},
$$

所以可取 $\theta=\arg z=\frac{\pi}{3}$, 从而 $z=1+\sqrt{3} \mathrm{i}$ 的三角形式为

$$
z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+\operatorname{isin} \frac{\pi}{3}\right) .
$$

这也可以通过如下方式得到.

$$
\begin{aligned}
z & =1+\sqrt{3} \mathrm{i}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\left[\frac{1}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}} \mathrm{i}\right] \\
& =2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}\right) \\
& =2\left(\cos \frac{\pi}{3}+\mathrm{i} \sin \frac{\pi}{3}\right) .
\end{aligned}
$$

因为

$$
0=0(\cos \theta+i \sin \theta),
$$

其中 $\theta$ 可以为任意值, 所以我们也称上式为复数 0 的三角形式. 这样一来,
任意复数都可以写成三角形式

## 代数形式和三角形式转换公式
复数的代数形式 $z=a+b i$ 与三角形式 $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ 之间, 由图可知有下列互化的关系：

$$
\left\{\begin{array}{l}
a=r \cos \theta \\
b=r \sin \theta
\end{array}, \quad\left\{\begin{array}{l}
r=\sqrt{a^2+b^2} \\
\tan \theta=b / a
\end{array}\right.\right.
$$

( $\theta$ 只要取主值, 且要考虑 $a, b$ 的正负).

`例`化代数式为三角形式
(1) $\sqrt{3}+i$
(3) -1
(2) $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$
(4) $\cos \theta-i \sin \theta$

解:(1) $r=\sqrt{3+1}=2, \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 且 $a, b$ 均为正值, $\theta$ 在 I 象限, 因而

$$
\begin{aligned}
& \arg (\sqrt{3}+i)=\frac{\pi}{6} \\
& \therefore \quad \sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right)
\end{aligned}
$$

(2) $r=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1, \tan \theta=-\sqrt{3}$, 且 $a<0, b>0, \theta$ 在 II 象限, 因而 $\theta=\frac{2 \pi}{3}$ (主值)

$$
\therefore \quad-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}
$$

(3) $r=1, \tan \theta=0$, 且 $a<0$, 因此 $\arg (-1)=\pi$

$$
\therefore \quad-1=\cos \pi+i \sin \pi
$$

(4) $r=\sqrt{\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta}=1$

$$
\therefore \quad \cos \theta-i \sin \theta=\cos (-\theta)+i \sin (-\theta)=\cos (2 \pi-\theta)+i \sin (2 \pi-\theta)
$$

`例` 将下列复数的三角形式化为代数形式:
(1) $2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)$
(3) $\cos 101 \pi+i \sin 101 \pi$
(2) $\sqrt{2}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)$
(4) $5\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)$

解:
(1) $2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}+\sqrt{2} i$
(2) $\sqrt{2}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i$
(3) $\cos 101 \pi+i \sin 101 \pi=\cos \pi+i \sin \pi=-1$
 (4) $ 5\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)=5 i $

## 复数三角乘法
设 $z_1=r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right), z_2=r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right)$, 试求出 $z_1 z_2$.

对于上述尝试与发现中的两个复数来说, 显然有

$$
\begin{aligned}
z_1 z_2 & =r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right) \times r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right) \\
& =r_1 r_2\left[\left(\cos \theta_1 \cos \theta_2-\sin \theta_1 \sin \theta_2\right)+\mathrm{i}\left(\sin \theta_1 \cos \theta_2+\cos \theta_1 \sin \theta_2\right)\right] \\
& =r_1 r_2\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right],
\end{aligned}
$$

即

$$
\boxed{
r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right) \times r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right)= \\ 
r_1 r_2\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right] .
}
$$

## 复数三角除法

两个复数的商, 在除数不为零的条件下仍是一个复数, 它的模等于两个复数的模的商, 它的幅角等于两复数的幅角的差 (被除数的幅角减去除数的幅角). 即: 当 $z_2 \neq 0$ 时, 有

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\frac{z_1}{z_2} & =\frac{r_1\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right)}{r_2\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right)} \\
& =\frac{r_1}{r_2}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1-\theta_2\right)\right]
\end{aligned}
}
$$

`例` 计算 $(\sqrt{3}-i) \div(\sqrt{3}+i)$
解:

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \sqrt{3}-i=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i\right)=2\left[\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right] \\
& \sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right) \\
& \therefore(\sqrt{3}-i) \div(\sqrt{3}+i)=(2 \div 2)\left[\cos \left(-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)\right] \\
& =1 \cdot\left[\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right] \\
& =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i
\end{aligned}
$$

`例` 计算下列各式的值：
（1）$\sqrt{5}\left(\cos \frac{\pi}{12}+ i \sin \frac{\pi}{12}\right) \times \sqrt{15}\left(\cos \frac{\pi}{12}+ i \sin \frac{\pi}{12}\right)$ ；
（2） $2\left(\cos 22^{\circ}+ i \sin 22^{\circ}\right) \div\left(\cos 157^{\circ}+ i \sin 157^{\circ}\right)$ 。
解析：利用复数乘，除法的几何意义计算更加简便：
（1）

$$
\begin{aligned}
& \sqrt{5}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right) \times \sqrt{15}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right) \\
= & \sqrt{5} \times \sqrt{15}\left[\cos \left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}\right)\right] \\
= & 5 \sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right) \\
= & 5 \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i\right) \\
= & \frac{15}{2}+\frac{5 \sqrt{3}}{2} i
\end{aligned}
$$

（2）

$$
\begin{aligned}
& 2\left(\cos 22^{\circ}+i \sin 22^{\circ}\right) \div\left(\cos 157^{\circ}+i \sin 157^{\circ}\right) \\
= & \frac{2}{1}\left(\cos \left(22^{\circ}-157^{\circ}\right)+i \sin \left(22^{\circ}-157^{\circ}\right)\right) \\
= & 2\left[\cos \left(-135^{\circ}\right)+i \sin \left(-135^{\circ}\right)\right] \\
= & 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i\right) \\
= & -\sqrt{2}-\sqrt{2} i
\end{aligned}
$$

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