最后更新: 2025-08-05 08:06 查看: 704 次反馈同步训练

映射

## 映射
在集合论中，**映射（Mapping）** 描述了两个集合之间的关系，如果这两个集合是同一个，那么映射也称作**变换(Transformation)**

>映射强调的是**静态规则**，主要表达集合之间的关系，而变换强调的是**动态规则**，描述对对象的操作或修改。 比如 每个学生对应一个学号称作映射，而将图像旋转90度则称作变换。不过，在更高级别的教程里，通常不会太严格区分两者的区别。

设两个非空集合 $A$ 和 $B$ ，若存在一个对应关系 $f$ ，使得对每个 $A$ 中的元素 $x \in A$ ，在 $B$ 中都有唯一一个元素 $y \in B$ 和它对应，我们称 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个映射，记作

$$
\begin{aligned}
f: A & \rightarrow B \\
x & \mapsto y=f(x)
\end{aligned}
$$

第一个式子表示该映射 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的，第二个表明了 $f$ 的对应关系。

- 上式$y=f(x)$中，$y$ 称为 $x$ 对应的**像** (image)， $x$ 称为 $y$ 的**原像** (inverse image)；
- $A$ 称为 $f$ 的**定义域** (domain of $\mathrm{f}$ ) 或原像集，也记作 $D(f)$;
- $B$ 称作 $f$ 的**值域**(Range)，记作 $R(f)$ ；
- $f(A)=\{y \mid y=f(x), x \in A\}$ 称为 $A$ 在 $f$ 下的**像集** (image set)，也记作 $\operatorname{Im} f$ ；
- 给定一 $y \in B$ ，符合等式 $y=f(x)$ 的所有 $x \in A$ 称作 $y$ 在 $f$ 下的**完全原像**，记作 $f^{-1}(y)$, 读作："**f逆y**" 。

一般来说，像集和值域并不相等， $f(A) \subseteq B$ ，如果 $f$ 是满射时那这两者是相等的。某个特定的 $y \in B$ 的完全原像 可能并不是唯一的，甚至可能没有。
  我们说两个映射 $f: A \rightarrow B, g: A \rightarrow B$ 是相等的，是指 $\forall x \in A, f(x)=g(x)$.
  将集合 $A$ 中的元素映作自身的变换称作恒等变换 (映射)，记作 $i, i_A$.

### 延伸阅读 不动点理论
> 想象一下你站在镜子旁，镜子里出现你的影像，此时“现实中的你”和“镜子中的你”就是一个镜像。记 $A$={现实中的你}，$B$={镜子中的你}，对应法则是 $f$=镜子。 那么，你身上的每一点都对应镜子中的每一点。 试着把镜子倾斜或者干脆换一个哈哈镜，镜子里你的像将跟着变换，甚至有可能你自己都认不出自己。

考虑下面三张照片，其中左右两种是中间那张照片变形得到的。不动点理论认为，在从$A \to B, B \to C, A \to C$ 的三组映射里，一定能找到一个点，这个点在映射中保持不变，这就是不动点理论。当然他的证明比较复杂，同时也有多个版本的定义。

![图片](/uploads/2025-08/5ed5f1.jpg)

想象你拿一张纸，揉成一团后塞进杯子里。纸上至少有一个点还在它最初的位置（尽管纸被扭曲了）。这个点就是“不动点”。
（对应**布劳威尔定理**：连续变形下必有不动点）

递归函数如果没有终止条件（比如 $f(x)=f(x)+1$ ，就是因为它找不到不动点，导致无限循环。 
 
## 单射与满射

> 数学中有2个常用符号 $\forall$ 表示**任意**，$\exists$ 表示**存在**

**单射**
若 $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 \neq x_2$ 均有 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$ ，则称 $f$ 是一个单射 (injection) 或 $1-1$ 的映射。

提示：若 $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 \neq x_2$ 均有 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$” 表示的意思是：对于A里**任意**的$x_1,x_2$，如果$x_1$不等于$x_2$，那么 $y_1$ 不等于 $y_2$

上述定义等价于: $\forall y \in B,\left|f^{-1}(y)\right| \leqslan

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