最后更新: 2024-11-03 11:13 查看: 737 次反馈刷题

函数的极值与最值

## 函数的极值
极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大，这函数在该点处的值就是一个极大值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大，它就是一个严格极大值。而该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

![图片](/uploads/2023-11/image_20231104594a4ee.png){width=300px}

## 函数的最值
函数在定义域内，取得的最大值或者最小值，被称作函数的最值。注意：最值范围受定义域控制，例如
$y=x^2$， 在$x \in  [-1,1]$ 他的最小值为 $0$
$y=x^2$， 在$x \in  [1,2]$ 他的最小值为 $1$

函数的最值通常和极值相关。假设函数$f(x)$ 的定义域为$[a,b]$,有两个极值点为$x_1,x_2$，那么函数的最值应该是在 $f(a), f(b), f(x_1),f(x_2)$ 这四个值之中。因此，计算函数的两个端点和极值点，然后比较值的大小就可以得出最值。

### 极值的求法

> 关于函数极值/最值的严格定义与求法，超脱了高中数学的范畴，如果需要进一步了解，可以参考[高等数学极值](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=307) 的教程。

下面仅从几何图形上简单解释极值的求法。如下图，对于函数$f(x)$，其定义域$x \in [a,b]$，容易看到他的极值点出现切线等于零出的地方，因此，求出函数$f(x)$的一阶导数$f'(x)$并令$f'(x)=0$ 可以求得函数取极值的点，这个极值点叫做“驻点”，函数的极值和最值就在端点和驻点处取得。

![图片](/uploads/2024-11/8c28dc.jpg){width=500px}
 请看下面例题。
 
 ## 例题
 `例` 求函数 $f(x)=\left(x^2-1\right)^3+1$ 在$x \in [-2,3]$的极值.
 解：
**1)求$f(x)$得导数**

$$
f^{\prime}(x)=6 x\left(x^2-1\right)^2
$$

**2)令$f'(x)=0$ 求驻点**

令 $f^{\prime}(x)=6 x\left(x^2-1\right)^2=0$, 得驻点 $x_1=-1, x_2=0, x_3=1$

**3)比较极值点**
把$x$的取值范围的两个端点和极值点 ，即$x=-2,3,-1,0,1$ 代入函数，求值。
$f(-2)=28$
$f(3)=513$
$f(-1)=f(1)=1$ 由函数$f(x)$是偶函数，所以$f(-x)=f(x)$$
$f(0)=0$
 
以上，比较函数值，容易知道函数$f(x)$ 在$x=0$取得最小值为0，在$x=3$取得最大值为513，如下图
 ![图片](/uploads/2024-11/18ba0a.jpg)

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