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高中数学
第二章：函数
函数的极值与最值
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2024-11-03 11:13
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函数的极值与最值
## 函数的极值 极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大，这函数在该点处的值就是一个极大值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大，它就是一个严格极大值。而该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。 {width=300px} ## 函数的最值 函数在定义域内，取得的最大值或者最小值，被称作函数的最值。注意：最值范围受定义域控制，例如 $y=x^2$， 在$x \in [-1,1]$ 他的最小值为 $0$ $y=x^2$， 在$x \in [1,2]$ 他的最小值为 $1$ 函数的最值通常和极值相关。假设函数$f(x)$ 的定义域为$[a,b]$,有两个极值点为$x_1,x_2$，那么函数的最值应该是在 $f(a), f(b), f(x_1),f(x_2)$ 这四个值之中。因此，计算函数的两个端点和极值点，然后比较值的大小就可以得出最值。 ### 极值的求法 > 关于函数极值/最值的严格定义与求法，超脱了高中数学的范畴，如果需要进一步了解，可以参考[高等数学极值](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=307) 的教程。 下面仅从几何图形上简单解释极值的求法。如下图，对于函数$f(x)$，其定义域$x \in [a,b]$，容易看到他的极值点出现切线等于零出的地方，因此，求出函数$f(x)$的一阶导数$f'(x)$并令$f'(x)=0$ 可以
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