无穷小

日期: 2022-12-27 14:36 查看: 100 次

如果 $\lim f(x)=A$, 那么 $\lim (f(x)-A)=0$, 即任何一个极限存在的函数都 可以转化为极限为零的函数. 这一类极限为零的函数具有非常重要的 性质，所以我们需要把它们单独拿出来进行讨论.

在讨论数列和函数的极限时， 经常遇到以零为极限的变量. 例如， 变量 $\frac{1}{n}$ ， 当 $n \rightarrow \infty$ 时，其极限为 0 ；函数 $\frac{1}{x^2} ＼mathrm{~ ， 当 ~} x \rightarrow \infty$ 时，其极限为 0 ，函数 $x-1$ 当 $x \rightarrow 1$ 时，其极限为 $0 \ldots \ldots$ 这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统 称为无穷小量(简称为无穷小).
我们以 $x \rightarrow x_0$ 为例， 来定义函数 $f(x)$ 无穷小的概念.

定义 1 设 $f(x)$ 在 $\stackrel{0}{U\left(x_0\right)}$ 内有定义，若 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ，则称函数 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_0$ 时 的无穷小.
此定义也可用 “ $\varepsilon-\delta$ " 语言描述: 如果
$\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)|<\varepsilon$.
那么称函数 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷小.
例如，由 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^2-1\right)=0$ ，知 $f(x)=x^2-1$ 为 $x \rightarrow 1$ 时的无穷小；
由 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$ ，知 $f(x)=\frac{1}{x}$ 为 $x \rightarrow \infty$ 时的无穷小；
由 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0$ ，知 $x_n=\frac{1}{\sqrt[3]{n}}$ 为 $n \rightarrow \infty$ 时的无穷小.

注
(1) 无穷小与一个很小的确定的常数(如 $\left.\frac{1}{10^8}\right)$ 不能混为一谈. 这是因为无穷小 是个变量(函数). 自变量在某一变化过程中，其绝对值能小于任意给定的正数 $\varepsilon$. 但是 $\frac{1}{10^8}$ 做不到这一点.
(2) 讨论无穷小的时候， 要注意自变量的变化过程. 例如 $f(x)=\frac{1}{x}$ ，当 $x \rightarrow \infty$ 时是无穷小，而当 $x \rightarrow 1$ 时极限却是一个常数.
(3) 零是无穷小中唯一的常数.
由数列和函数四则运算性质可知， 在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小 的和，差，积都是无穷小，下面我们给出无穷小的另一个重要性质:

定理１( 无穷小运算性质) 　在自变量的同一变化过程中， 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

例 1 求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}$.
。 解 由于 $x \rightarrow \infty$ 时 $\frac{1}{x}$ 的极限为0， 故 $\frac{1}{x}$ 是当 $x \rightarrow \infty$ 时 的无穷小. 而 $|\sin x| \leq 1$ 是有界函数，因此由无穷小运 算性质可知， $\frac{\sin x}{x}$ 是当 $x \rightarrow \infty$ 时的无穷小(见图1-49)， 即
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=0$
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