最后更新: 2024-11-03 11:13 查看: 520 次反馈刷题

比较大小

比较大小的专题近几年出现的次数是逐渐增多，无论在真题卷还是在模拟卷当中。本篇文章就大小比 较问题进行讲解，把常规的、常见的解题手法给运用一遍 . 当然，那些不常见的譬如帕德逼近，长相刁钻的不 等式咱们就省去了，介绍的时候倒是可以说说 .

## 记住常见的数据
很多时候，直接死算会比较简单。下面列出常见的一些数：

#### 平方数
主要是 $1 \sim 20$ 的平方: $1 \sim 10$ 就不用说了, 说说 $11 \sim 20$ 的, 即
$$
\begin{aligned}
& 11^2=121,12^2=144,13^2=169,14^2=196,15^2=225,16^2=256,17^2=289, \\
& 18^2=324,19^2=361,20^2=400
\end{aligned}
$$

#### 开方数

主要是 $1 \sim 10$ 的平方根: $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732 \sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{6} \approx 2.450, \sqrt{7} \approx 2.646, \sqrt{10} \approx 3.162$.

> 注意：对于$\sqrt{6}$ 记不住没关系，因为 $\sqrt{6}=\sqrt{2} \times \sqrt{3}$

#### 关于立方根

主要是 $1 \sim 10$ 的立方根: $\sqrt[3]{2} \approx 1.260, \sqrt[3]{3} \approx 1.442, \sqrt[3]{4} \approx 1.587$, $\sqrt[3]{5} \approx 1.710, \sqrt[3]{6} \approx 1.817, \sqrt[3]{7} \approx 1.913, \sqrt[3]{9} \approx 2.080, \sqrt[3]{10} \approx 2.154$

#### 关于 $\pi$ 与 $e$
$ \pi \approx 3.14 $  和 $  \mathrm{e} \approx 2.718 $

#### 关于 $\ln$ 的
$$
\ln 2 \approx 0.693, \ln 3 \approx 1.098, \ln 5 \approx 1.609, \ln 7 \approx 1.945, \ln 10 \approx 2.302
$$

> 注意：可以通过 $\ln 10= ln2 + ln5 $ 计算

####  关于三角的
$$
\begin{aligned}
& \sin \frac{\pi}{5} \approx 0.588, \sin \frac{\pi}{8} \approx 0.383, \cos \frac{\pi}{5} \approx 0.809 \\
& , \cos \frac{\pi}{8} \approx 0.924, \tan \frac{\pi}{5} \approx 0.727, \tan \frac{\pi}{8} \approx 0.414
\end{aligned}
$$

#### 关于 $\lg$ 的
$$
\lg 2 \approx 0.301, \lg 3 \approx 0.477, \lg 7 \approx 0.845
$$

注意： $ln2$ 可以通过前面换底公式推导

#### 常见的放缩式
(1) $\mathrm{e}^x \geqslant x+1$
(2) $\ln x \leqslant x-1, x>0$
(3) $\sin x<x<\tan x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$

#### 泰勒展开
(1) $\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}$ (建议记忆)
(2) $\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+(-1)^{m-1} \frac{x^{2 m-1}}{(2 m-1) !}$
(3) $\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}+\cdots+(-1)^m \frac{x^{2 m}}{(2 m) !}$
(4) $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$ (建议记忆 )
(5) $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^n$ ( $\alpha$ 为正整数时就是二项式定理 )
(6) $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n$ (建议记忆 )
(7) $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n$ (建议记忆 )
(8) $\frac{1}{(1-x)^2}=1+2 x+3 x^2+\cdots+n x^{n-1}$

#### 以直代曲 (估值)

在某一阶段函数图像与其在某一点处的切线增量极为接近，这样的函数有 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=16$ 处的切线它们的增量接近，那我们在求 $\sqrt{16.5}$ 的估值就方便多了，怎么算呢?
$$
\begin{aligned}
& f(16.5)=f(16+0.5) \approx f(16)+f^{\prime}(16) \times 0.5 \\
& =4+\frac{1}{2 \sqrt{16}} \times 0.5=\frac{65}{16} \approx 4.063 .
\end{aligned}
$$

其实就是: $f($ 整数 + 增量 $) \approx f($ 整数 $)+$ 在整数这一点处的原函数的切线的斜率 $\times$ 增量. 看上去好像抽象，其实自己动笔算一下就知道是怎么回事了! 比如说 $y=2 x+1$ ，现在 $x=1.02$ ，那 $y=3.04$. 如果我不这么做，而是用刚才的形式来做，不就是:
$y=\left.y\right|_{x=1}+2 \times 0.02=3.04$ ， 就是这个意思!
注意: 此类函数，譬如 $\ln x, \sqrt{x}$ 之类的，它们在 $x$ 取值大的时候用这个方法 (增量较小) 时可行的，但是在 $x$ 取值小的时候就不建议用，你自己画一下函数图像就知道了，增量变化很大，这里建议你还是选择放缩 更为妥当一点!

#### 函数构造

很多比较大小的题目是需要构造函数来着的, 这里提供一下 8 个基础函数
(1) $f(x)=x \ln x$ 在 $x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时取得最小值为 $-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
(2) $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 在 $x=\mathrm{e}$ 时取得最大值为 $\frac{1}{\mathrm{e}}$.
(3) $f(x)=\frac{\frac{x}{x}}{\ln x}$ 在 $x=\mathrm{e}$ 时取得最小值为 $\mathrm{e}, x>1$.
(4) $f(x)=x-1-\ln x$ 在 $x=1$ 时取得最小值为 0 .
(5) $f(x)=x \mathrm{e}^x$ 在 $x=-1$ 时取得最小值为 $-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
(6) $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}$ 在 $x=1$ 时取得最小值为 $\mathrm{e}, x>0$
(7) $f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^x}$ 在 $x=1$ 时取得最大值为 $\frac{1}{\mathrm{e}}$.
(8) $f(x)=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $x=0$ 时取得最小值为 0 .

#### 常见的代数变形
(1) 指对互换: $\log _a M=x \Leftrightarrow a^x=M(a>0, a \neq 1, M>0)$
(2) 对数恒等式: $a^{\log _a x}=a(a>0, a \neq 1)$
(3) 换底公式: $\log _a b \cdot \log _b a=1 ; \log _a b=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{\lg b}{\lg a}=\frac{\log _c b}{\log _c a}$ $(a>0, a \neq 1, b>0, b \neq 1, c>0, c \neq 1)$
(4) 对数运算: $\log _a M+\log _a N=\log _a M N ; \log _a M-\log _a N=\log _a \frac{M}{N}$

####  函数图像

一些初等函数图像一定牢记于心，尤其是指数函数与对数函数图像的走势，如下图
  ![图片](/uploads/2024-04/a731f7.jpg)
注意这里面的 $a, b, c, d$ 指的是指数函数的底数，它们的大小关系是 $0<c<d<1<a<b$.你要是觉得不妥,或者不相信，你可以自己画条直线看一下，稍加计算便可得出结论.

![图片](/uploads/2024-04/ac92ff.jpg)
 上面的 $a, b, c, d$ 指的是对数函数的底数，它们的大小关系是 $0<c<d<1<a<b$ ，如果你觉得不相信，自己在 $(1,+\infty)$ 画一条坚线就行了，自我判别一下.

## 典型例题
#### 例题1
比较 $a=\ln \sqrt[3]{3}, b=\mathrm{e}^{-1}, c=\frac{\sqrt{5} \ln \sqrt{20}}{10}$ 的大小关系.

解析：这个就是看你的化简能力了，看能不能化简成一个形式. 因为 $a=\ln \sqrt[3]{3}=\ln 3^{\frac{1}{3}}=\frac{\ln 3}{3}, b=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}=\frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}, c=\frac{\sqrt{5} \ln \sqrt{20}}{10}=\frac{\ln (2 \sqrt{5})}{2 \sqrt{5}}$ ，那么此时就一目了然了，我们可以构造函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ ，然后我们根据其性 质就可以搞定了，因为 $\mathrm{e}<3<2 \sqrt{5}$ ，所以就可以得到 $b>a>c$.

#### 例题2
比较 $\log _2 3$ 和 $\log _3 4$的大小

这个我们可以先扩大一倍看看，即 $2 \log _2 3=\log _2 3^2=\log _2 9>\log _2 8=3$ ，那么 $2 \log _3 4=\log _3 4^2=\log _3 16<\log _3 27=3$ ，那么就有因为 $\log _2 9>\log _3 27 \Leftrightarrow \log _2 3>\log _3 4$.

再来看一道: 比较 $\log _3 4$ 和 $\log _4 5$ 的大小. 这时候你在扩大一倍就不好使了, 其实我们可以尝试着多扩大几倍看看，比如说这里直接就是扩大三倍，即 $4 \log _3 4=\log _3 256>\log _3 243=5$ ，与此同时 $4 \log _4 5=\log _4 625<\log _4 4^5=5$ ，所以 $\log _3 4>\log _4 5$.

其实对于 $\log _2 3$ 和 $\log _3 4$ 的大小还有其它方法，你令 $a=\log _3 4, b=\log _2 3$ ，所以 $\frac{b}{a}=\frac{\log _3 4}{\log _2 3}=\log _3 4 . \log _3 2<\left(\frac{\log _3 4+\log _3 2}{2}\right)^2=\left(\frac{\log _3 8}{2}\right)^2<1$.

#### 例题3
比较 $a=\frac{1}{\ln 1.8}, b=\ln 0.5, c=2.8^{-\frac{1}{2}}$ 大小
解析：
$$
\begin{aligned}
& 0=\ln 1<\ln 1.8<\ln e(e \approx 2.718) \Rightarrow 0<\ln 1.8<1 \Rightarrow a=\frac{1}{\ln 1.8}>1, b= \\
& \ln 0.5<\ln 1=0,0<2.8^{-\frac{1}{2}}<2.8^0=1 \Rightarrow 0<c<1, \text { 所以可以得到 } a>c>b \\
& a=0.2^{0.3}, b=0.3^{0.3}, c=0.2^{-0.2}
\end{aligned}
$$

发现什么了? 这里可以看做是函数 $y=a^x(0<a<1)$, 是减函数且 $a$ 越小图象越靠近两坐标轴，所以 $0.2^{0.3}<0.3^{0.3}$ 即 $a<b$, 又 $0.2^{-0.2}>1,0.2^{0.3}<0.3^{0.3}<1$ ，所以 $c>b>a$

上面的这个还算比较简单了, 如果遇到点难的题目了呢? 比如下面这个
$$
a=0.4^{0.6}, b=0.6^{0.4}
$$

这里面有点问题了，按照以往的方法搞不出来. 其实我们只要自己带一个中间值进去就好了，让 $0.4^{0.6}, 0.6^{0.4}$ 和这个中间值进行比较大小不就行了吗? 由 $a=0.4^{0.6}<0.6^{0.6}$, 由 $0.6^{0.4}>0.6^{0.6}$ ，所以 $a<b$.
$$
\begin{aligned}
& a=\ln \sqrt[5]{5}, b=\mathrm{e}^{-1}, c=\frac{3 \ln 2}{8} \\
& \text { 对式子化简一下 } a=\ln \sqrt[5]{5}=\frac{\ln 5}{5}, b=\mathrm{e}^{-1}=\frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}, c=\frac{\ln 8}{8} \text { ，一眼就可以识别出 }
\end{aligned}
$$

`例` 单选题 设 $a=\frac{2}{7}, b=\ln 1.4, c= e ^{0.4}-1.32$, 则下列关系正确的是 ( ).
A. $a>b>c$
B. $c>a>b$
C. $c>b>a$
D. $b>a>c$

【答案】D
【分析】构造函数 $f(x)=\ln x-\left(1-\frac{1}{x}\right)$, 利用导数求出函数的单调区间, 即可比较 $a, b$, 再构造函数 $g(x)= e ^x-\frac{1}{1-x}(0<x<1)$, 判断函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上的单调性, 即可比较 $a, c$, 从而可得出答案.

【详解】令 $f(x)=\ln x-\left(1-\frac{1}{x}\right)$, 则 $f^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x^2}(x>0)$,当 $0<x<1$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 当 $x>1$ 时, $f^{\prime}(x)<0$,

所以函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减, 在 $(1,+\infty)$ 上递增,
所以 $f(1,4)>f(1)=0$, 即 $\ln 1.4>1-\frac{1}{1.4}=\frac{2}{7}$,
所以 $b>a$,
令 $g(x)= e ^x-\frac{1}{1-x}(0<x<1)$, 则 $g^{\prime}(x)= e ^x-\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{(1-x)^2 e ^x-1}{(1-x)^2}(0<x<1)$,
令 $h(x)=(1-x)^2 e ^x-1(0<x<1)$,
则 $h^{\prime}(x)=\left(x^2-1\right) e ^x<0(0<x<1)$,
所以 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减,

所以 $h(x)<h(0)=0$, 所以 $g^{\prime}(x)<0(0<x<1)$,
所以 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减,

所以 $g(x)<g(0)=0(0<x<1)$,
即当 $x \in(0,1)$ 时, $e ^x<\frac{1}{1-x}$,

所以 $c= e ^{0.4}-1.32=\left( e ^{0.2}\right)^2-1.32<\left(\frac{1}{1-0.2}\right)^2-1.32=0.2425<\frac{2}{7}$,
即 $c<a$,
所以 $b>a>c$.
故选: D.
【点睛】关键点点睛: 解决本题的关键在于构造函数 $f(x)=\ln x-\left(1-\frac{1}{x}\right)$ 和 $g(x)= e ^x-\frac{1}{1-x}(0<x<1)$, 即 $\ln x \leq 1-\frac{1}{x}$, 当且仅当 $x=1$ 时, 取等号, 当 $x \in(0,1)$ 时, $e ^x<\frac{1}{1-x}$.

### 例2 
单选题  已知 $a \ln a=1, m= e ^{\frac{1}{2}+a}, e ^n=3^a, a^p=2^{ e }$, 则（）
A. $n<p<m$
B. $p<n<m$
C. $n<m<p$
D. $m<p<n$

【答案】A
【分析】对 $f(x)$ 求导, 得出 $f(x)$ 的单调性, 可知 $a \in(1, e )$, 可求出 $m, n$ 的大小, 对 $a^p=2^{ e }$ 两边取对数, 则 $p=a e \ln 2$, 可得 $p>n$, 最后比较 $e ^{\frac{1}{2}+a}$ 与 $a e \ln 2$ 大小, 即可得出答案.

【详解】 $f(x)=x \ln x, f^{\prime}(x)=\ln x+1=0, x=\frac{1}{ e }$,
令 $f^{\prime}(x)>0$, 解得: $x>\frac{1}{ e }$; 令 $f^{\prime}(x)<0$, 解得: $0<x<\frac{1}{ e }$,
所以 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{1}{ e }\right)$ 上单调递减, 在 $\left(\frac{1}{ e },+\infty\right)$ 上单调递增,
$f(1)=0<1, f( e )= e >1, a \ln a=1$, 则 $a \in(1, e ), m= e ^{\frac{1}{2}+a} \in\left( e ^{\frac{3}{2}}, e ^{\frac{1}{2}+ e }\right)$,
$n=a \ln 3 \in(\ln 3, e \ln 3), e ^{\frac{3}{2}}> e \ln 3, \therefore m>n$, 排除 D.
$p \ln a= e \ln 2$, 则 $\frac{p}{a}= e \ln 2, p=a e \ln 2, e \ln 2>\ln 3, \therefore p>n$, 排除 B.比较 $e ^{\frac{1}{2}+a}$ 与 $a e \ln 2$ 大小, 先比较 $e ^{a-\frac{1}{2}}$ 与 $a \ln 2$ 大小,

$$
f(x)=e^{x-\frac{1}{2}}-x-\frac{1}{2}, x \in(1, e), f^{\prime}(x)=e^{x-\frac{1}{2}}-1, x \in(1, e),
$$

因为 $x \in(1, e )$, 所以 $f^{\prime}(x)= e ^{x-\frac{1}{2}}-1>0$
所以 $f(x)$ 在 $(1, e )$ 上单调递增, $f(x)_{\min }>f(1)= e ^{\frac{1}{2}}-1-\frac{1}{2}>0$,所以 $e ^{a-\frac{1}{2}}>a+\frac{1}{2}$, 所以 $e ^{a-\frac{1}{2}}>a+\frac{1}{2}>a \ln 2+\frac{1}{2}>a \ln 2$,

$\therefore m>p$, 综上 $m>p>n$ 。
故选: A.
【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数 $f(x)=x \ln x$ ，运用函数的单调性可求出 $a$ 的大小, 即可判断 $m, n$ 的大小, $p, n$ 的大小, 最后构造函数 $f(x)= e ^{x-\frac{1}{2}}-x-\frac{1}{2}, x \in(1, e )$, 比较 $p$ 与 $m$ 的大小即可得出答案.

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