最后更新: 2024-11-03 11:21 查看: 484 次反馈刷题

几个特殊函数图像

从平面上一条曲线 (对这条曲线应该要求：与纵轴平行的直线与它的交点不能多于一个) 可以引出一个函数, 反过来, 给了一个函数 $y=f(x)$, 那么通常采用直角坐标系, 就可以用图形来表示 $y$ 是 $x$ 的函数.

定义在某一变域 $D$ 上的函数的图象就是让 $x$ 取遍 $D$ 中所有值, 所有点 $(x, f(x))$ 的集合便形成平面上的一个图形, 这个图形称为函数 $y=f(x)$ 的图象, 而这个方程 $y=f(x)$ 称为图象的方程.

利用函数图象的几何直观可以更清楚地看出函数的一些性质，下面我们把函数的解析性质和它的图象上相应的几何性质对照着列出来:

![图片](/uploads/2024-10/0582f2.jpg)
 
 （一）常值函数
常值函数 $f(x)=c$ 的图象是一条平行 $x$ 轴的直线, 它至 $x$ 轴的距离为 $|c|$,如图 8.8.
 （二）取整函数
函数 $f(x)=[x]$ 代表不超过 $x$ 的最大整数, 即: 若 $n \leq x<n+1, n \in Z$,则 $f(x)=[x]=n$. 它的图象如图 8.9.
 ![图片](/uploads/2024-10/c80dc5.jpg)
 
 （三）一次函数
我们已经在第三册中知道, 一次函数 $f(x)=k x+b(k \neq 0)$ 的图象是不平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴的直线. $k$ 称为直线的斜率, $b$ 称为直线的 $y$ 截距. 若知一次函数图象上的两个点, 我们用直线方程的两点式:

$$
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)
$$

就可以写出一次函数的关系式.
下面给出的函数的图象是有间断点的直线:
函数 $f(x)=\frac{3}{4} \cdot \frac{x^2-1}{x-1}, x \in(-\infty, 1) \cup(1,+\infty)$ 的图象是一条有间断点 $\left(1,1 \frac{1}{2}\right)$ 的直线, 除去点 $\left(1,1 \frac{1}{2}\right)$ 外, 它与直线 $y=\frac{3}{4}(x+1)$ 一致. (见图 8.10)

![图片](/uploads/2024-10/e8bf0f.jpg)
 
 （四）阶梯函数
设点列 $\left\{x_i\right\}, i=0,1, \ldots, n$ 是闭区间 $[a, b]$ 中的递增点列, 使得 $x_0=a$, $x_n=b$, 即 $a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$, 且当 $x_{i-1}<x<x_i$ 时, $f(x)=k_i, i=1,2, \ldots, n$. 而 $x$ 在分点, $x_i, i=0,1, \ldots, n$ 的值 $f\left(x_i\right)$ 可以任意给定, 这样一个在 $[a, b]$ 上有定义的, 而在每个子区间 $\left(x_{i-1}, x_i\right), i=1,2, \ldots, n$都是常数的函数叫做阶梯函数.

例如, 定义在 $[0,6]$ 上的阶梯函数 $f$ :

$$
\begin{cases}f(0)=2.5, & \\ f(x)=2, & 0<x \leq 1 \\ f(x)=0, & 1<x \leq 2 \\ f(x)=-1, & 2<x \leq 4 \\ f(x)=2, & 4<x \leq 6\end{cases}
$$

的图象如图 4.11 所示.
（五）折线函数
我们定义 $g$ :

$$
g(x)= \begin{cases}\frac{1}{2}(x-1), & x \in[1,2] \\ -\frac{3}{2}(x-2)+\frac{1}{2}(2-1), & x \in[2,3] \\ (x-3)-\frac{3}{2}(3-2)+\frac{1}{2}(2-1), & x \in[3,4] \\ -2(x-4)+(4-3)-\frac{3}{2}(3-2)+\frac{1}{2}(2-1), & x \in[4,6]\end{cases}
$$

它的图象是一条折线 $A B C D E$, 如图 8.12.
 ![图片](/uploads/2024-10/8c20ae.jpg)

### （六）幂函数

> 幂函数是极其重要的函数，会有专门章节介绍
 
函数 $f(x)=x^n$, 其中 $n$ 为任意自然数, 称为正整指数幕函数.
为了了解正整指数幕函数的一般性质，我们在同一个坐标系内，绘出几个这样的函数, 如图 8.13.
 ![图片](/uploads/2024-10/525cc3.jpg)
 
显然, 当 $n$ 为奇数时, 因为 $f(-x)=(-x)^n=-x^n=-f(x)$, 所以函数是奇函数. 又所有正整指数幂函数, 当 $x=0$ 时, $f(0)=0$. 故每个奇次幂函数的图象通过原点, 位于第一和第三象限内且关于原点对称. 所有这样的函数都是增函数.

当 $n$ 为偶数时, 因为 $f(-x)=(-x)^n=x^n=f(x)$, 所以函数是偶函数,每个图象通过原点, 位于第一和第二象限内且关于 $y$ 轴对称.

由于当 $x=1$ 时, $f(1)=1^n=1$, 每个正整指数幕函数的图象都通过点 $(1,1)$.

现在让指数 $n$ 逐次增大, 看看图象的变化, 从图 8.14, 8.15 可以清楚地看出每个图象的平坦部分和陡峭部分, 曲线最终以图 8.14 和 8.15 中的粗黑线为极限位置.
 ![图片](/uploads/2024-10/6b3227.jpg)
 
函数 $f(x)=x^{-n}(x \neq 0, n$ 为自然数 $)$ 称为负整指数幕函数. 在同一坐标系内, 绘出 $y=x^{-1}, y=x^{-2}, y=x^{-3}, y=x^{-4}$ 的图象如图 8.16 所示. 当 $x=0$ 时, 这些函数都无意义, 函数的图象在此点断开, 它的二支以 $y$ 轴为渐近线.

当指数为负奇数时, 这些函数是奇函数. 图象的二支分别位于第一和第三象限内, 随 $x$ 向右移动下降, 且关于原点对称. 因此, 函数在 $(-\infty, 0)$ 或 $(0,+\infty)$内是减函数.

当指数是负偶数时, 这些函数是偶函数, 每个函数的图象在原点处断开, 分

为二支, 位于第一和第二象限内, 都以 $y$ 轴为渐近线, 且关于 $y$ 轴对称. 从图象明显地看出, 当 $x<0$ 时, 函数是增函数, 当 $x>0$ 时, 函数是减函数.
  ![图片](/uploads/2024-10/60edb4.jpg)

`例`说明函数 $y=f(x)=\sqrt{1-x^2}, D_f=[-1,1]$ 和 $y=g(x)=\sqrt{1-4 x^2}$的图象的关系.

解：我们已经知道 $f$ 的定义域是 $D_f=[-1,1]$ 且 $g(x)$ 可以看作 $f\left(x^{\prime}\right)$ 与 $x^{\prime}=2 x$的复合函数，即

$$
g(x)=f(2 x)=\sqrt{1-(2 x)^2}
$$

复合函数 $f(2 x)$ 有意义必须且只须 $-1 \leq 2 x \leq 1$, 即 :

$$
-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}
$$

因此, $g(x)$ 的定义域是 $D_g=\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$. 因为对于 $D_g=\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 中的每一个 $x$ ，在 $D_f$ 中一定有一个相应的 $2 x$ 使得 $g(x)=f(2 x)$ 成立，这就说明了将
$y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标垂直 $y$ 轴压缩一半而使点的纵坐标不变便得 $g(x)=\sqrt{1-4 x^2}$ 的图象, 如图 4.18 所示.
 ![图片](/uploads/2024-10/0cc4c3.jpg)

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