最后更新: 2025-08-05 21:37 查看: 643 次反馈同步训练

几个特殊函数图像

## 函数的图像
从平面上一条曲线 (对这条曲线应该要求：与纵轴平行的直线与它的交点不能多于一个) 可以引出一个函数, 反过来, 给了一个函数 $y=f(x)$, 那么通常采用直角坐标系, 就可以用图形来表示 $y$ 是 $x$ 的函数.

定义在某一变域 $D$ 上的函数的图象就是让 $x$ 取遍 $D$ 中所有值, 所有点 $(x, f(x))$ 的集合便形成平面上的一个图形, 这个图形称为函数 $y=f(x)$ 的**图象**, 而这个方程 $y=f(x)$ 称为**图象的方程**.

利用函数图象的几何直观可以更清楚地看出函数的一些性质，下面我们把函数的解析性质和它的图象上相应的几何性质对照着列出来，后面有需要再回头看:

![图片](/uploads/2024-10/0582f2.jpg)
 
 ## 几个特殊的函数图像
 整个数学（包含大学）所写的初等函数大致分类六类：**常数函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数**。换句话说，这六类函数构成了整个数学体系。其中反三角函数高中不学。
 
 下面介绍的几个特殊的函数图像，他们其实更简单一些。
 
 ### （一）常值函数
常值函数 $f(x)=c$ 的图象是一条平行 $x$ 轴的直线, 它至 $x$ 轴的距离为 $|c|$,如图 8.8.
 
### （二）取整函数
函数 $f(x)=[x]$ 代表不超过 $x$ 的最大整数, 即: 若 $n \leq x<n+1, n \in Z$,则 $f(x)=[x]=n$. 它的图象如图 8.9
例如 $[3.14]=3$ ,$ [-3.14]=-4$ ,这里要特别注意负数，他的值是$-4$,而不是$-3$

![图片](/uploads/2024-10/c80dc5.jpg)
 
### （三）一次函数
我们已经在初中学过, 一次函数 $f(x)=k x+b(k \neq 0)$ 的图象是不平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴的直线. $k$ 称为直线的斜率, $b$ 称为直线的 $y$ 截距. 若知一次函数图象上的两个点, 我们用直线方程的两点式:

$$
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)
$$

就可以写出一次函数的关系式.

### （四）间断点函数
下面给出的函数的图象是有间断点的直线:
函数 $f(x)=\frac{3}{4} \cdot \frac{x^2-1}{x-1}, x \in(-\infty, 1) \cup(1,+\infty)$ 的图象是一条有间断点 $\left(1,1 \frac{1}{2}\right)$ 的直线, 除去点 $\left(1,1 \frac{1}{2}\right)$ 外, 它与直线 $y=\frac{3}{4}(x+1)$ 一致. (见图 8.10)

![图片](/uploads/2024-10/e8bf0f.jpg)
 
### （五）阶梯函数
设点列 $\left\{x_i\right\}, i=0,1, \ldots, n$ 是闭区间 $[a, b]$ 中的递增点列, 使得 $x_0=a$, $x_n=b$, 即 $a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$, 且当 $x_{i-1}<x<x_i$ 时, $f(x)=k_i, i=1,2, \ldots, n$. 而 $x$ 在分点, $x_i, i=0,1, \ldots, n$ 的值 $f\left(x_i\right)$ 可以任意给定, 这样一个在 $[a, b]$ 上有定义的, 而在每个子区间 $\left(x_{i-1}, x_i\right), i=1,2, \ldots, n$都是常数的函数叫做阶梯函数.

例如, 定义在 $[0,6]$ 上的阶梯函数 $f$ :

$$
\begin{cases}f(0)=2.5, & \\ f(x)=2, & 0<x \leq 1 \\ f(x)=0, & 1<x \leq 2 \\ f(x)=-1, & 2<x \leq 4 \\ f(x)=2, & 4<x \leq 6\end{cases}
$$

的图象如图 8.11 所示.

### （六）折线函数
我们定义 $g$ :

$$
g(x)= \begin{cases}\frac{1}{2}(x-1), & x \in[1,2] \\ -\frac{3}{2}(x-2)+\frac{1}{2}(2-1), & x \in[2,3] \\ (x-3)-\frac{3}{2}(3-2)+\frac{1}{2}(2-1), & x \in[3,4] \\ -2(x-4)+(4-3)-\frac{3}{2}(3-2)+\frac{1}{2}(2-1), & x \in[4,6]\end{cases}
$$

它的图象是一条折线 $A B C D E$, 如图 8.12.
 ![图片](/uploads/2024-10/8c20ae.jpg)

### （七）幂函数

> **幂函数是极其重要的函数，会有专门章节介绍**
 
函数 $f(x)=x^n$, 其中 $n$ 为任意自然数, 称为正整指数幕函数.
为了了解正整指数幕函数的一般性质，我们在同一个坐标系内，绘出几个这样的函数, 如图 8.13.
 ![图片](/uploads/

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