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诱导公式

## 诱导公式

诱导公式是指三角函数中，利用三角函数周期性的特点将角度比较大的三角函数转换为角度比较小的三角函数的公式。

> 诱导一次来自俄语，意思是把大角度“引诱”为小角度（只能说那时翻译很随意）

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在实际教学中，老师通常使用如下口诀让学生记忆：**奇变偶不变，符号看象限,$2n\pi$随便加**”。 意思为，当k为奇数时（ $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍）,sin 变cos，cos变sin，tan变cot，cot变tan，sec变csc，csc变sec。当k为偶数时，三角函数则不变。对于正负号，要看最后角所在的象限。这里$n$为任意整数，也就是**三角函数里可以任意加减$2\pi$ 的倍数，三角函数值不变**。

上表列出了诱导公式，后面进行证明，不想看证明过程的，可以忽略，直接背诵上面口诀公式,即使你不懂证明，也一点不影响你做题。

## 诱导公式口诀解析

上面的＂**奇变偶不变，符号看象限，$2n\pi$随便加**＂是记忆三角函数诱导公式的口诀。
①＂奇变偶不变＂说的是如果参数 $k$ 是奇数（ $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍），则正弦 $(\sin )$ 变余弦 $(\cos )$ ，余弦（ $\cos$ ）变正弦（ $\sin$ ），正切（ $\tan$ ）变余切（ $\cot$ ），余切（ $\operatorname{cot)}$ 变正切（ $\tan$ ），即函数名变为原来的余函数。如果参数 $k$ 是偶数（ $\frac{\pi}{2}$ 的偶数倍），则保持与原式相同的函数名。

②＂符号看象限＂指的是**我们总是假设 $\alpha$ 为锐角**，根据 $\frac{k \pi}{2} \pm \alpha$ 所在象限，再判断三角比符号，如果原式为负，则最后转换的式子前面要加负号；如果原式为正，则最后转化的式子的就是正号。符号情况依据三角比的象限符号图确定，如下：
 ![图片](/uploads/2025-01/d713c3.jpg){width=500px}
 
③ **$2n\pi$随便加** 的意思是一个三角函数里，任意加减$2\pi$得倍数值不变。
比如看到$sin(\alpha-9 \pi)$ 立刻想到$9\pi$可以分成$8\pi+\pi$ 而$8\pi$  是$2\pi$的整数比，可以直接扔掉，就变成 $sin(\alpha-\pi)$ 然后再进一步用诱导公式化简。

我们通常也会把这张图记为一句口诀，即“**一全正，二正弦，三正切，四余弦**”，含义是在第一象限内，正弦、余弦、正切都为正；在第二象限内，只有正弦为正；在第三象限内，只有正切为正；在第四象限内，只有余弦为正。

有了上述的知识基础，我们就可以化简任意一个三角诱导公式，

`例`$\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=?$

解：这里的 $k=3$ 是**奇数**（ $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍），所以函数名首先要从$\sin$变成 $\cos$ ，然后再总是把 $\alpha$ 看成是锐角，则$\alpha$在第一象限，所以$-\alpha$就在第四象限，然后加上 $\frac{3 \pi}{2}$ 后（相当于从第四象限逆时针旋转$\frac{3 \pi}{2}$ ）， 则 $\frac{3 \pi}{2}-\alpha$ 的终边落在第三象限，此时原 $\sin$ 值为负，化简后的式子中要添加负号,即
$\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha$

![图片](/uploads/2025-01/a68646.jpg){width=200px}

`例`化简 $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)$ ．
解：这里的 $k=3$ 是**奇数**,直接用口诀，$\cos$ 变成 $\sin$, 又因为总是默认$a$在第一象限，则 $\frac{3 \pi}{2}+\alpha$ 落在第四象限， 原$\cos$在第四象限为正，所以， $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha$ ．

> 利用口诀，学生要能直接快速的写出答案。

###  $2 \pi \pm \alpha$ 与 $\alpha$ 的三角函数间的关系
根据三角函数的定义可以知道, 终边相同的角的同一三角函数的值相等,即

$$
\begin{aligned}
\sin (\alpha+2 k \pi) & =\sin \alpha, & & \cos (\alpha+2 k \pi)=\cos \alpha \\
\tan (\alpha+2 k \pi) & =\tan \alpha, & & \cot (\alpha+2 k \pi)=\cot \alpha
\end{aligned}
$$ 
其中 $k \in Z$.

## 公式一：$\alpha$ 与 $\alpha+2 \pi$

> **这个公式表明，三角函数里可以任意加减$2 \pi$ 的整数被，三角函数值不变**。

角度大小相差 $2 k \pi(k \in Z )$ 的角，它们的终边位置相同，它们的各三角函数相同，即：
$$
\sin (\alpha+2 k \pi)=\sin \alpha, \quad \cos (\alpha+2 k \pi)=\cos \alpha, \quad \tan (\alpha+2 k \pi)=\tan \alpha(k \in Z )
$$

由于终边相同的角的各三角函数的值分别相等，所以在分析研究两个角的三角函数之间的关系时，只需要研究变化幅度最小的两个角即可，其他相差若干 $2 \pi$弧度的角的关系相同。

## 公式二：$\alpha$ 与 $\alpha+\pi$
大小相差 $\pi$ 的两个角 $\alpha$ 与 $\alpha+\pi$ ，它们的终边在同一条直线上，指向直线两端相反的方向，如下图所示。

![图片](/uploads/2025-04/1fce77.jpg){width=300px}
 
终边 OB 可以看作是终边 OA 绕原点逆时针旋转 $\pi$ 后到达的位置。此时，点 A与点 B 的横坐标和纵坐标都互为相反数，即：

$$
x_{A}=-x_{B}, \quad y_{A}=-y_{B}
$$

由各三角函数的定义可得：

$$
\sin (\alpha+\pi)=-\sin \alpha, \quad \cos (\alpha+\pi)=-\cos \alpha, \quad \tan (\alpha+\pi)=\tan \alpha
$$

## 公式三：$\alpha$ 与 $-\alpha$
互为相反数的两个角 $\alpha$ 和 $-\alpha$ ，它们沿相反的方向旋转相同的弧度，它们的终边总是沿 $x$ 轴镜面对称，如下图所示。

![图片](/uploads/2025-04/b06667.jpg){width=300px}
 
 此时，点 A 与点 B 的横坐标总是相等，纵坐标总是互为相反数，即：

$$
x_{A}=x_{B}, \quad y_{A}=-y_{B}
$$

由各三角函数的定义可得：

$$
\sin (-\alpha)=-\sin \alpha, \quad \cos (-\alpha)=\cos \alpha, \quad \tan (-\alpha)=-\tan \alpha
$$

## 公式四：$\alpha$ 与 $\pi-\alpha$
和为 $\pi$ 的两个角，它们的终边 OA 与 OB 总是沿 $y$ 轴镜面对称，如下图所示。
 ![图片](/uploads/2025-04/33eefa.jpg){width=300px}
 
 此时，点 A 与点 B 的横坐标总是互为相反数，纵坐标总是相等，即：

$$
x_{A}=-x_{B}, \quad y_{A}=y_{B}
$$

由各三角函数的定义可得：

$$
\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha, \quad \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha, \quad \tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha
$$

这与初中学习的＂互为补角的两个角，它们的正弦值相等，余弦值互为相反数＂一致。

## 公式五：$\alpha$ 与 $\frac{\pi}{2}-\alpha$
和为 $\frac{\pi}{2}$ 的两个角，它们的终边 OA 与 OB 总是关于直线 $y=x$ 镜面对称，如下图所示。
 ![图片](/uploads/2025-04/0e0bd9.jpg){width=300px}
 与函数的反函数类似，此时，点 A与点  B 的横坐标和纵坐标互换位置，即
$x_{A}=y_{B}, \quad y_{A}=x_{B}$
由各三角函数的定义可得：

$$
\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha, \quad \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha, \quad \tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\tan \alpha}
$$

这与初中学习的互余的两个锐角的三角函数的关系一致。

## 公式六：$\alpha$ 与 $\alpha+\frac{\pi}{2}$
如果将一个角 $\alpha$ 沿正方向旋转 $\frac{\pi}{2}$ 得到角 $\alpha+\frac{\pi}{2}$ ，终边的位置也可以看作是将
整个坐标轴沿正方向旋转 $\frac{\pi}{2}$ 后终边的位置，如下图所示。
 ![图片](/uploads/2025-04/cf534b.jpg){width=300px}
 
 此时，点 B 的纵坐标等于点 A 的横坐标，点 B 的横坐标等于点 A 的纵坐标的相反数，即：

$$
y_{B}=x_{A}, \quad x_{B}=-y_{A}
$$

由各三角函数的定义可得：

$$
\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \alpha, \quad \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \alpha, \quad \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\tan \alpha}
$$

##  三角函数的奇偶性
关于函数的奇偶性我们有下面的结论,具体证明略。
 **正弦函数是奇函数； 余弦函数是偶函数‘’ 正切函数是奇函数**
 
即：

$$
\begin{aligned}
& \sin (-\alpha)=-\sin \alpha, \quad \cos (-\alpha)=\cos \alpha \\
& \tan (-\alpha)=-\tan \alpha, \quad \cot (-\alpha)=-\cot \alpha
\end{aligned}
$$

利用上面的公式可以把求任意角的三角函数值的问题, 转化为求 0 到 $2 \pi$间角的三角函数值的问题.

`例`求 $\sin \left(-1650^{\circ}\right)$ 的值.
解：①利用奇偶性把符号提取出来，
$\sin \left(-1650^{\circ}\right)=-\sin \left(1650^{\circ}\right)$
②三角函数里可以任意加减 $360^{\circ}$ 的整数被,所以，我们去掉$360^{\circ}$ 的倍数

$-\sin \left(4 \times 360^{\circ}+210^{\circ}\right)=-\sin 210^{\circ}$

③因为我们熟悉的三角函数都在180度以内，所以，利用诱导公式继续化简，因此，拆成180度+30度
 $-\sin \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)$
 
 此时你可以利用诱导公式，也可以自己脑子里想“单位圆”计算。上式是
 $30^{\circ}$ 旋转180度，所以，跑到了第三象限,有一个符号，和前面的抵消。所以最终结果为
 $=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} $
 
 
 `例` 求   $\cos \left(-\frac{19 \pi}{6}\right)$ 的值.
 $$
 \begin{gathered}
 \cos \left(-\frac{19 \pi}{6}\right)=\cos \frac{19 \pi}{6}=\cos \left(2 \pi+\frac{7 \pi}{6}\right) \\
=\cos \frac{7 \pi}{6}=\cos \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) \\
=-\cos \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{gathered}
$$

`例`求 $\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right), \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right), \tan \left(-\frac{\pi}{6}\right), \cot \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值.
解：

$$
\begin{aligned}
& \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
& \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin \frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2} \\
& \tan \left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\tan \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\
& \cot \left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\cot \frac{\pi}{6}=-\sqrt{3}
\end{aligned}
$$

`例`计算
1. $\sin \frac{11 \pi}{6}$
2. $\sin \left(-\frac{17}{3} \pi\right)$ 
解：
1. $\sin \frac{11 \pi}{6}=\sin \left(2 \pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin \frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$
2. $\sin \left(-\frac{17}{3} \pi\right)=\sin \left(-6 \pi+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

或者
$$
\sin \left(-\frac{17}{3} \pi\right)=-\sin \frac{17 \pi}{3}=-\sin \left(6 \pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$

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