最后更新: 2025-05-29 19:11 查看: 2410 次反馈同步训练

诱导公式

## 诱导公式

诱导公式是指三角函数中，利用三角函数周期性的特点将角度比较大的三角函数转换为角度比较小的三角函数的公式。

> 诱导一次来自俄语，意思是把大角度“引诱”为小角度（只能说那时翻译很随意）

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在实际教学中，老师通常使用如下口诀让学生记忆：**奇变偶不变，符号看象限,$2n\pi$随便加**”。 意思为，当k为奇数时（ $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍）,sin 变cos，cos变sin，tan变cot，cot变tan，sec变csc，csc变sec。当k为偶数时，三角函数则不变。对于正负号，要看最后角所在的象限。这里$n$为任意整数，也就是**三角函数里可以任意加减$2\pi$ 的倍数，三角函数值不变**。

上表列出了诱导公式，后面进行证明，不想看证明过程的，可以忽略，直接背诵上面口诀公式,即使你不懂证明，也一点不影响你做题。

## 诱导公式口诀解析

上面的＂**奇变偶不变，符号看象限，$2n\pi$随便加**＂是记忆三角函数诱导公式的口诀。
①＂奇变偶不变＂说的是如果参数 $k$ 是奇数（ $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍），则正弦 $(\sin )$ 变余弦 $(\cos )$ ，余弦（ $\cos$ ）变正弦（ $\sin$ ），正切（ $\tan$ ）变余切（ $\cot$ ），余切（ $\operatorname{cot)}$ 变正切（ $\tan$ ），即函数名变为原来的余函数。如果参数 $k$ 是偶数（ $\frac{\pi}{2}$ 的偶数倍），则保持与原式相同的函数名。

②＂符号看象限＂指的是**我们总是假设 $\alpha$ 为锐角**，根据 $\frac{k \pi}{2} \pm \alpha$ 所在象限，再判断三角比符号，如果原始为负，则最后转换的式子前面要加负号；如果原始为正，则最后转化的式子的就是正号。符号情况依据三角比的象限符号图确定，如下：
 ![图片](/uploads/2025-01/d713c3.jpg){width=500px}
 
③ **$2n\pi$随便加** 的意思是一个三角函数里，任意加减$2\pi$得倍数值不变。
比如看到$sin(\alpha-9 \pi)$ 立刻想到$9\pi$可以分成$8\pi+\pi$ 而$8\pi$  是$2\pi$的整数比，可以直接扔掉，就变成 $sin(\alpha-\pi)$ 然后再进一步用诱导公式化简。
 
有了上述的知识基础，我们就可以化简任意一个三角诱导公式，

`例`$\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=?$

**1．奇变偶不变？**$\frac{3 \pi}{2}=3 \times \frac{\pi}{2}$ ，系数 3 是奇数，所以＂奇变＂，即 $\cos$ 变为 $\sin$ ，得到 $\sin \alpha$ 。

**2．符号看象限？** 总是假设 $\alpha$ 为锐角，$\frac{3 \pi}{2}-\alpha$ 位于第三象限（因为 $\frac{3 \pi}{2}=270^{\circ}$ ，减去一个锐角 $\alpha$ 就回退到第三象限）。

**3．原始函数 $\cos$ 在第三象限的符号？** 余弦函数 $\cos$ 在第三象限为负 。所以转换后的结果需要加一个负号。

**4．最终结果**：因此， $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=-\sin \alpha$ 。

![图片](/uploads/2025-01/a68646.jpg){width=200px}

`例`化简 $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)$ ．
解：这里的 $k=3$ 是**奇数**,直接用口诀，$\cos$ 变成 $\sin$, 又因为总是默认$a$在第一象限，则 $\frac{3 \pi}{2}+\alpha$ 落在第四象限， 原$\cos$在第四象限为正，所以， $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha$ ．

> 利用口诀，学生要能直接快速的写出答案。

`例` 已知 $x \in R$ ，则下列等式恒成立的是
A． $\sin (3 \pi-x)=-\sin x$
B． $\sin \frac{\pi-x}{2}=-\cos \frac{x}{2}$
C． $\cos \left(\frac{5 \pi}{2}+3 x\right)=\sin 3 x$
D． $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-2 x\right)=-\sin 2 x$

答案选D。
$$
\begin{aligned}
& \sin (3 \pi-x)=\sin (\pi-x)=\sin x \\
& \sin \frac{\pi-x}{2}=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=\cos \frac{x}{2} \\
& \cos \left(\frac{5 \pi}{2}+3 x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}+3 x\right)=-\sin 3 x \\
& \cos \left(\frac{3 \pi}{2}-2 x\right)=-\sin 2 x
\end{aligned}
$$

##  三角函数的奇偶性
关于函数的奇偶性我们有下面的结论,具体证明略。

>**正弦函数是奇函数； 余弦函数是偶函数; 正切函数是奇函数**
 
即：

$$
\begin{aligned}
& \sin (-\alpha)=-\sin \alpha, \quad \cos (-\alpha)=\cos \alpha \\
& \tan (-\alpha)=-\tan \alpha, \quad \cot (-\alpha)=-\cot \alpha
\end{aligned}
$$

利用上面的公式可以把求任意角的三角函数值的问题, 转化为求 0 到 $2 \pi$间角的三角函数值的问题.

`例`求 $\sin \left(-1650^{\circ}\right)$ 的值.
解：①利用奇偶性把符号提取出来，
$\sin \left(-1650^{\circ}\right)=-\sin \left(1650^{\circ}\right)$
②三角函数里可以任意加减 $360^{\circ}$ 的整数被,所以，我们去掉$360^{\circ}$ 的倍数

$-\sin \left(4 \times 360^{\circ}+210^{\circ}\right)=-\sin 210^{\circ}$

③因为我们熟悉的三角函数都在180度以内，所以，利用诱导公式继续化简，因此，拆成180度+30度
 $-\sin \left(180^{\circ}+30^{\circ}\right)$
 
 此时你可以利用诱导公式，也可以自己脑子里想“单位圆”计算。上式是
 $30^{\circ}$ 旋转180度，所以，跑到了第三象限,有一个符号，和前面的抵消。所以最终结果为
 $=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} $
 
 
 `例` 求   $\cos \left(-\frac{19 \pi}{6}\right)$ 的值.
 $$
 \begin{gathered}
 \cos \left(-\frac{19 \pi}{6}\right)=\cos \frac{19 \pi}{6}=\cos \left(2 \pi+\frac{7 \pi}{6}\right) \\
=\cos \frac{7 \pi}{6}=\cos \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) \\
=-\cos \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{gathered}
$$

`例` 化简 $\sin \left(\frac{7 \pi}{3}\right)$
1．将角度转化为 $2 \pi k \pm \theta$ 的形式，其中 $0 \leq \theta<2 \pi$ 。

$$
\frac{7 \pi}{3}=2 \pi+\frac{\pi}{3}
$$

2．看到$2\pi$ 直接扔掉

$$
\sin \left(\frac{7 \pi}{3}\right)=\sin \left(2 \pi+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)
$$

3．计算锐角三角函数值。

$$
\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$

`例` 化简 $\cos \left(-\frac{17 \pi}{6}\right)$
1．利用偶函数性质 $\cos (-\theta)=\cos \theta$ 化简符号。

$$
\cos \left(-\frac{17 \pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{17 \pi}{6}\right)
$$

2．将角度转化为 $2 \pi k \pm \theta$ 的形式，其中 $0 \leq \theta<2 \pi$ 。

$$
\frac{17 \pi}{6}=2 \pi+\frac{5 \pi}{6}
$$

3．扔掉$ 2 \pi$ 的倍数得 $\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)$

4．将角度转化为 $\pi-\alpha$ 或 $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ 的形式，并运用诱导公式。

$$
\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)
$$

- 偶不变，函数名不变，还是 $\cos$ 。
- $\pi-\frac{\pi}{6}$ 在第二象限， $\cos$ 在第二象限为负。

$$
\cos \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}
$$

##  $2 \pi \pm \al

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