最后更新: 2025-04-11 10:16 查看: 730 次反馈刷题

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割

## 三角函数的定义
在直角三角形里，以$\angle BAC= \theta$ 为基准，定义各个三角函数为

![图片](/uploads/2024-09/4e5cd4.svg){width=300px}
 
 正弦：$\sin A= \dfrac{a}{c}$
 
 余弦：$\cos A= \dfrac{b}{c}$
 
 正切：$\tan A= \dfrac{a}{b}$
 
 余切：$\cot A= \dfrac{b}{a}$
 
 正割：$\sec A= \dfrac{c}{a}$
 
 余割：$\csc A= \dfrac{b}{a}$
 
 
 
### 基本关系
根据上面关系，结合勾股定理的性质，不难得到下面的关系

① $\sin^2 A+\cos^2 A=1$

② $\tan A= \dfrac{\sin A}{\cos A}$
 
③ $\cot A= \dfrac{1}{\tan A}$

④ $\sec A= \dfrac{1}{\sin A}$

⑤$\csc A= \dfrac{1}{\cos A}$
 
上面的定义可以推广到任意角。

**请注意：高考数学只靠正弦、余弦和正切。其它三角函数仅供了解**

![图片](/uploads/2024-09/914567.jpg)
 
 
 
## 扩展三角函数定义
如图 5．2－1，在平面上建立直角坐标系．以锐角 $\alpha$ 的顶点为原点 $O$ ， 我们取$OP$长度为$r$，$OP$ 的坐标为$(x,y)$

![图片](/uploads/2025-04/36da5f.jpg){width=300px}
  
我们定义三角函数为 
$$
\sin \alpha=\dfrac{y}{r}, \cos \alpha=\dfrac{x}{r}, \tan \alpha=\dfrac{y}{x} .
$$
这里 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ，且$r>0$

以上三个比值分别称为角 $\alpha$ 的正弦，余弦，正切． 
在正弦，余弦里，他定义域为任意实数$R$。 而正切定义里，要求分母不能为零，所以$  \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\  $， 如下所示
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline \text { 三角函数 } & \text { 定义域 } \\
\hline y=\sin \alpha & R \\
\hline y=\cos \alpha & R \\
\hline y=\tan \alpha & \left\{\alpha \left\lvert\, \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\right., k \in Z \right\} \\
\hline
\end{array}
$$
 
 
 
## 三角函数在象限里的符号
根据三角函数定义，点 $P(x, y)$ 斜边长 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 永远大于零，所以，其三角函数值，主要由坐标值确定。 
 
  ![图片](/uploads/2025-04/3850c2.jpg){width=500px}

## 三角函数关系图

习惯上, 人们经常借助如下页图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式: 
**图中六边形的每一条红色对角线上的两个元素之积为 1**
每一个倒立的绿色正三角形中, 上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方, 即 $\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$ 等.

![图片](/uploads/2023-11/image_2023110589b2010.png)

**三角函数倒数关系:**

$$
\begin{aligned}
& \tan \alpha \cot \alpha=1 \\
& \sin \alpha \csc \alpha=1 \\
& \sec \alpha \cos \alpha=1
\end{aligned}
$$

**三角函数商数关系：**

$$
\begin{aligned}
& \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \\
& \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\end{aligned}
$$

**三角函数平方关系：**

$$
\begin{aligned}
& \sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1 \\
& \tan ^2 \alpha+1=\sec ^2 \alpha \\
& 1+\cot ^2 \alpha=\csc ^2 \alpha
\end{aligned}
$$

## 三角函数求导与积分表
高考只靠正弦和余弦求导，其它的仅供了解。
 ![图片](/uploads/2024-09/e0f9d4.jpg){width=400px}

## 常见三角函数值
 ![图片](/uploads/2024-09/bf93d2.jpg){width=400px}

`例`如图  ，已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(4,-3)$ ，求 $\alpha$ 的正弦，余弦和正切值．
 ![图片](/uploads/2025-01/3a1364.jpg)
解 $x=4, y=-3$ ，则 $r=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$ ，
所以 $\sin \alpha=\frac{y}{r}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$ ，
$\cos \alpha=\frac{x}{r}=\frac{4}{5}$,
$\tan \alpha=\frac{y}{x}=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}$.

`例` 计算 $sin 15^{\circ}$ 为多少？
 用两角和与差公式。
$$
\begin{aligned}
& \sin 15=\sin \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\
& =(\sqrt{ 2} / 2)^*(\sqrt{3 } / 2)-(\sqrt{2 }  / 2)^*(1 / 2) \\
& =\frac{(\sqrt{6 }-\sqrt{2})}{4}
\end{aligned}
$$

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