二阶导数的物理意义

日期: 2022-12-27 20:03 查看: 98 次

设质点沿直线运动，在直线上给定原点和单位点(表示实数 1 的点)，使直 线成为数轴. 另外，再取定一个时刻为计时的零点. 质点于时刻 在直线上的 位置的坐标记为 $s$ ， 这样，质点的运动完全由某个函数 $s=s(t)$ 所确定.
在最简单的匀速直线运动的情形中，质点经过的路程与所用的时间成正比， 即 $v=\frac{s}{t}$ 如果是非匀速直线运动，取从 $t_0$ 时刻到 $t_0+\Delta t$ 这样一段时间间隔，在 上质点所走过的路程 $s$ 有相应增量 $\Delta s=s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)$ ， 这段区间上的平均速度

$$
\bar{v}=\frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}
$$

若令 $t \rightarrow t_0$ ， 即 $\Delta t \rightarrow 0$ ，那么 $\bar{v}$ 的极限值就精确地反映了质点在时刻这一 瞬间运动的快慢程度。因此在 $t=t_0$ 时，瞬时速度即为

$$
v\left(t_0\right)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}=s^{\prime}\left(t_0\right)
$$

一般地，变速直线运动的速度 $v(t)$ 就是位置函数 $s(t)$ 对时间 $t$ 的导数， 即 $v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}$ ，或 $v=s^{\prime}$
而加速度 $a(t)$ 是速度函数 $v(t)$ 对时间 $t$ 的变化率，即速度函数，对时间 $t$ 的 导数， 即

$$
a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right) \text { ，或 } a=\left(s^{\prime}\right)^{\prime}=s^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2} \text {. }

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