日期: 2023-10-03 11:05 查看: 255 次编辑导出本文

等差数列

## 定义

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用 $A 、 P$ 表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 $d$ 表示。 性质
如果一个等差数列的首项記作 $a$ ，公差记做 $d$ ，那么该等差数列第 $n$ 项的一般项为

$$
a_n=a+(n-1) d
$$

任意一個等差数列 $a_n$ 都可以写成

$$
\{a, a+d, a+2 d, \cdots, a+(n-1) d\}
$$

在一个等差数列中，给定任意两相连项 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ ，可知公差

$$
d=a_{n+1}-a_n
$$

给定任意两项 $a_m$ 和 $a_n$ ，则有公差

$$
d=\frac{a_m-a_n}{m-n}
$$

此外，在一个等差数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之和，为原来该项的两倍。举例来说

$$
a_1+a_3=2 a_2
$$

更一般的有: $a_{n-1}+a_{n+1}=2 a_n$
证明如下

$$
\begin{aligned}
a_{n-1}+a_{n+1} & =[a+(n-2) d]+(a+n d) \\
& =2 a+(2 n-2) d \\
& =2[a+(n-1) d] \\
& =2 a_n
\end{aligned}
$$

从另一个角度看，等差数列中的任意一项，是其前一项和后一项的算术平均

$$
a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
$$

此结果从上面直接可得。
如果有正整数 $m, n, p, q$ ，使得 $m+n=p+q$ ，那么则有:

$$
a_m+a_n=a_p+a_q
$$

证明如下

$$
\begin{aligned}
a_m+a_n & =[a+(m-1) d]+[a+(n-1) d] \\
& =2 a+(m+n-2) d \\
& =2 a+(p+q-2) d \\
& =[a+(p-1) d]+[a+(q-1) d] \\
& =a_p+a_q
\end{aligned}
$$

由此可将上面的性质一般化成

$$
\begin{aligned}
& a_{n-k}+a_{n+k}=2 a_n \\
& a_n=\frac{a_{n-k+a_{n \nmid k}}}{2}
\end{aligned}
$$

其中 $\mathrm{k}$ 是一个小于 $\mathrm{n}$ 的整数。
等差数列和
一个等差数列的首 $\mathrm{n}$ 项之和，称为等差数列和，记做 $S_n$ ，等差数列求和的公式如下：

$$
\begin{aligned}
S_n & =\frac{n}{2}\left(a+a_n\right) \\
& =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\
& =a n+d \cdot \frac{n(n-1)}{2}
\end{aligned}
$$

一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。
公式证明如下:
将等差数列和写作以下两种形式：

$$
\begin{aligned}
& S_n=a+(a+d)+(a+2 d)+\cdots+[a+(n-2) d]+[a+(n-1) d] \\
& S_n=\left[a_n-(n-1) d\right]+\left[a_n-(n-2) d\right]+\cdots+\left(a_n-2 d\right)+\left(a_n-d\right)+a_n
\end{aligned}
$$

将两公式相加来消掉公差 $d$ ，可得

$$
2 S_n=n\left(a+a_n\right)
$$

整理可得第一种形式，代入 $a_n=a+(n-1) d$ ，可得第二种及第三种形式。

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