最后更新: 2024-12-28 20:43 查看: 446 次反馈刷题

导数的四则运算

## 求导法则
两个导数的加、减、乘与除被称为倒数的四则运算，也叫求导法则。求导法则如下：

$$
\begin{aligned}
& (cu)^{\prime}=c(u') \\
&(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\\
&(u-v)^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}\\
&(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}\\
&\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2}(\mathrm{v} \neq 0)
\end{aligned}
$$

### 简单证明
#### 导数加法证明
一般地, 和函数 $u(x)=f(x)+g(x)$ 的导数, 等于两函数的导数和.这是因为：

$$
\begin{aligned}
\frac{u(x+d)-u(x)}{d} & =\frac{f(x+d)+g(x+d)-(f(x)+g(x))}{d} \\
& =\frac{f(x+d)-f(x)}{d}+\frac{g(x+d)-g(x)}{d}
\end{aligned}
$$

当 $d \rightarrow 0$ 时, $\xrightarrow[d]{f(x+d)-f(x)} \rightarrow f^{\prime}(x), \frac{g(x+d)-g(x)}{d} g^{\prime}(x)$,
于是, $(f(x)+g(x))^{\prime} \rightarrow f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)$.
即两函数之和的求导法则为

$$
(f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) .
$$

#### 导数乘法证明
设
$$
\begin{aligned}
&  F(x)=f(x) g(x) \text {, 则 }\\
&\begin{aligned}
& \frac{F(x+d)-F(x)}{d} \\
= & \frac{f(x+d) g(x+d)-f(x) g(x)}{d} \\
= & \frac{f(x+d) g(x+d)-f(x+d) g(x)+f(x+d) g(x)-f(x) g(x)}{d} \\
= & \frac{f(x+d) g(x+d)-f(x+d) g(x)}{d}+\frac{f(x+d) g(x)-f(x) g(x)}{d} \\
= & f(x+d) \cdot \frac{g(x+d)-g(x)}{d}+g(x) \cdot \frac{f(x+d)-f(x)}{d} .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

当 $d \rightarrow 0$ 时,

$$
f(x+d) \rightarrow f(x), \frac{g(x+d)-g(x)}{d} \rightarrow g^{\prime}(x), \frac{f(x+d)-f(x)}{d} \rightarrow f^{\prime}(x),
$$

所以

$$
F^{\prime}(x)=f(x) g^{\prime}(x)+g(x) f^{\prime}(x)
$$

即函数乘积的求导法则为

$$
(f(x) g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)
$$

## 例题

`例` 求曲线 $y=\tan x$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \tan \frac{\pi}{4}\right)$ 处的切线方程.
解 因为

$$
\begin{aligned}
(\tan x)^{\prime} & =\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime} \\
& =\frac{(\sin x)^{\prime} \cos x-(\cos x)^{\prime} \sin x}{\cos ^2 x} \\
& =\frac{\cos ^2 x+\sin ^2 x}{\cos ^2 x}=\frac{1}{\cos ^2 x},
\end{aligned}
$$

所以所求切线的斜率为 $\frac{1}{\cos ^2 \frac{\pi}{4}}=5$, 又因为 $\tan \frac{\pi}{4}=1$, 所以切点为 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$, 从而可知所求切线方程为

$$
y-1=2\left(x-\frac{\pi}{4}\right),
$$

即 $y=2 x-\frac{\pi}{2}+1$.

`例` 求函数 $f(x)=x^3 \sin x$ 的导数.
解

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) & =\left(x^3 \sin x\right)^{\prime} \\
& =\left(x^3\right)^{\prime} \sin x+x^3(\sin x)^{\prime} \\
& =3 x^2 \sin x+x^3 \cos x
\end{aligned}
$$

`例` 求倒数 $y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$
解：
$$
\begin{aligned}
y^{\prime} & =\left(\frac{e^x+1}{e^x-1}\right)^{\prime}=\frac{\left(e^x-1\right)\left(e^x+1\right)^{\prime}-\left(e^x+1\right)\left(e^x-1\right)^{\prime}}{\left(e^x-1\right)^2} \\
& =\frac{\left(e^x-1\right) e^x-\left(e^x+1\right) e^x}{\left(e^x-1\right)^2}=\frac{-2 e^x}{\left(e^x-1\right)^2} .
\end{aligned}
$$

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