基本初等函数的微分公式及微分法则

日期: 2022-12-27 21:36 查看: 85 次

如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内每一点处都可微，称 $f(x)$ 是 $(a, b)$ 内的 可微函数. 函数 $f(x)$ 在任意一点 $x$ 处的微分就称为函数的微分，记为 $\mathrm{d} y$ ，即有 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \Delta x$.
我们规定 $\mathrm{d} x=\Delta x$ ，这样微分可记为 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ， 并且有

$$
y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} .
$$

导数看作是两个微分(函数微分与自变量微分)的商，因此也称导数为 “微商".

当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\Delta y 、 \mathrm{~d} y$ 都是无穷小，当 $y^{\prime}(x) \neq 0$ 时

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y-\mathrm{d} y}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y-y^{\prime} \Delta x}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[1-\frac{y^{\prime}}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\right]=0,
$$

这表明在 $y^{\prime}(x) \neq 0$ 的条件下 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\Delta y-\mathrm{d} y$ 不仅为 $o(\Delta x)$ 还是 $o(\Delta y)$ 因此称 $\mathrm{d} y$ 是 $\Delta y$ 的主部. 又由 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，则称 $\mathrm{d} y$ 是 $\Delta y$ 的线性主部(当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时).

又因为当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\Delta y d y$ 都是无穷小，且

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{d} y}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y^{\prime} \Delta x}{\Delta y}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y^{\prime}}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=1\left(y^{\prime} \neq 0\right)
$$

故当 $|\Delta x|$ 很小时，可以用 $\mathrm{d} y$ 代替 $\Delta y$ 即 $\Delta y \approx \mathrm{d} y$

由于导数可看作微商 $y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ， 即 $\mathrm{d} y=y^{\prime} \mathrm{d} x$ ，故由导数的公式和求导法则很 容易得到微分公式及微分法则.
(1) $\quad \mathrm{d}(C)=0 \quad(C \in R)$;
(2) $\quad \mathrm{d}\left(x^\alpha\right)=\alpha x^{\alpha-1} \mathrm{~d} x(\alpha \in R)$;
(3) $\quad \mathrm{d}\left(a^x\right)=a^x \ln a \mathrm{~d} x \quad(a>0$ 且 $a \neq 1)$ ；
(4) $\quad \operatorname{de}^x=\mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$,
(5) $\mathrm{d}\left(\log _a x\right)=\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln a} \mathrm{~d} x(a>0$ 且 $a \neq 1)$ ；
(6) $\mathrm{d}(\ln x)=\frac{1}{x} \mathrm{~d} x$;

(7) $\mathrm{d}(\sin x)=\cos x \mathrm{~d} x$;
(8) $\quad \mathrm{d}(\cos x)=-\sin x \mathrm{~d} x$;
(9) $\mathrm{d}(\tan x)=\sec ^2 x \mathrm{~d} x$;
(10) $\mathrm{d}(\cot x)=-\csc ^2 x \mathrm{~d} x$
(11) $\mathrm{d}(\sec x)=\sec x \tan x \mathrm{~d} x$;
(12) $\mathrm{d}(\csc x)=-\csc x \tan x \mathrm{~d} x$;
(13) $\mathrm{d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$
(14) $\mathrm{d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$;
(15) $\mathrm{d}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x$;
(16) $\mathrm{d}(\operatorname{arccot} x)=-\frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x$;
(17) $\quad \mathrm{d}(u \pm v)=(u \pm v)^{\prime} \mathrm{d} x=u^{\prime} \mathrm{d} x \pm v^{\prime} \mathrm{d} x=\mathrm{d} u \pm \mathrm{d} v$;

(18) $\quad \mathrm{d}(u \cdot v)=(u \cdot v)^{\prime} \mathrm{d} x=u^{\prime} v \mathrm{~d} x+u v^{\prime} \mathrm{d} x=v \mathrm{~d} u+u \mathrm{~d} v$;
(19) $\quad \mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} \mathrm{d} x=\left(\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2}\right) \mathrm{d} x=\frac{v u^{\prime} \mathrm{d} x-u v^{\prime} \mathrm{d} x}{v^2}=\frac{v \mathrm{~d} u-u \mathrm{~d} v}{v^2}$;
(20) 设 $y=f(u) 、 u=\varphi(x)$ 可微，则复合函数 $y=f[\varphi(x)]$ 可微，且它的 微分为

$$
\mathrm{d} y=y^{\prime} \mathrm{d} x=f^{\prime}[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x ，
$$

由 $\mathrm{d} u=\varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ，得 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u$.
由此可见，不管 $u$ 是自变量，还是中间变量(另一变量的可微函数)，微分形 式 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u$ 保持不变，这一性质称为微分形式的不变性.

例4 设 $y=\cos \sqrt{x}$ ，求 $\mathrm{d} y$.
解 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=(\cos \sqrt{x})^{\prime} \mathrm{d} x$

$$
\begin{aligned}
& =(-\sin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{\sin \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

例5 设 $y=\mathrm{e}^{\cos ^2 x}$ ，求 $\mathrm{d} y$.
解 应用微分形式的不变性有 (视 $\cos ^2 x$ 为中间变量)

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} y & =\mathrm{e}^{\cos ^2 x} \mathrm{~d} \cos ^2 x=\mathrm{e}^{\cos ^2 x} \cdot 2 \cos x \mathrm{~d} \cos x \\
& =\mathrm{e}^{\cos ^2 x} \cdot 2 \cos x(-\sin x) \mathrm{d} x \\
& =-\sin 2 x \mathrm{e}^{\cos ^2 x} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

例6 设 $y=\ln (1-x) \sin x$ ，求 $d y$
解-

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} y= & y^{\prime} \mathrm{d} x=(\ln (1-x) \sin x)^{\prime} \mathrm{d} x=\left(\frac{\sin x}{(1-x) \cdot(-1)}-\ln (1-x) \cos x\right) \mathrm{d} x \\
& =\frac{\sin x+(1-x) \ln (1-x) \cos x}{(x-1)} \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

解二

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} y & =\mathrm{d}(\ln (1-x) \sin x)=\sin x \mathrm{~d} \ln (1-x)+\ln (1-x) \mathrm{d} \sin x \\
& =\frac{\sin x}{1-x} \mathrm{~d}(1-x)+\ln (1-x) \cos x \mathrm{~d} x \\
& =\frac{\sin x}{1-x}(-1) \mathrm{d} x-\ln (1-x) \cos x \mathrm{~d} x \\
& =\frac{\sin x+(1-x) \ln (1-x) \cos x}{(x-1)} \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

例7 设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2 y+x y^2=1$ 确定的隐函数，求 $\mathrm{d} y$.
解 我们用微分法来计算这个问题.
由 $\mathrm{d}\left(x^2 y+x y^2\right.$ 得 $\mathrm{d}(1)=0$

$$
2 x \mathrm{~d} x \cdot y+x^2 \mathrm{~d} y+\mathrm{d} x \cdot y^2+x \cdot 2 y \mathrm{~d} y=0 ，
$$

即 $\left(2 x y+y^2\right) \mathrm{d} x+($ 因此 $2 x y) \mathrm{d} y=0$

$$
\mathrm{d} y=-\frac{2 x y+y^2}{x^2+2 x y} \mathrm{~d} x \cdot\left(x^2+2 x y \neq 0\right)

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