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第七章 导数(高中版)
阅读:利用二阶导数判断函数的凸凹性
最后
更新:
2025-04-12 14:48
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刷题
阅读:利用二阶导数判断函数的凸凹性
在[利用导数求极值](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=148) 研究了函数的单调性与极值后,对函数的变化情况有了一定的了解,对描述函数的图形有很大的帮助. 但是有时候我们需要进一步了解函数的凸凹性。 比如图2-44中的曲线弧 $\overparen{A B C}$ 整体是单调上升的,但 $\overparen{A B}$ 是弧段是凸的,而弧段 $\overparen{B C}$ 是凹的,所以不仅要考虑增减性,还需要研究曲线的弯曲方向,下面给出曲线的凹凸性的定义.  ### 凹弧 **定理** 设函数 $f(x)$ ,在区间 $I$ 上连续,如果对区间 $I$ 上的任意两点 $x_1$ 、 $x_2$ 、恒有 $$ f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{1}{2}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right] $$ 则称 $f(x)$ 的图形 (曲线 $y=f(x)$ ) 是凹的(或凹弧) (见图2-45).  ### 凸弧 如果对区间 $I$ 上的任意两点 $x_1, x_2$ ,恒有 $$ f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{1}{2}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right] $$ 则称 $f(x)$ 的图形 (曲线 $y=f(x))$ 是凸的 (或凸弧) (见图2-46)  从几何图形上,很容易理解图形的凸凹性。 > 请注意区分一阶导数和二阶导数对绘制函数的区别。比如,一阶导数为正表示函数是递增的。二阶导数再判断,递增的是凸弧还是凹弧。换句话说,不管是凸弧还是凹弧,函数都是递增的,这个大方向没有改变。 ## 如何确定函数图形的凹凸性呢? 从以下两图可以看出,随着横坐标 $x$ 的增加,凹弧上各点处的切线斜率逐 渐增大,即 $f^{\prime}(x)$ 是单调增加的 (见图2-47) ;而凸弧上各点处的切线斜率 逐渐减小,即 $f^{\prime}(x)$ 是单调减少的(见图2-48) 对于 $f^{\prime}(x)$ 的增减性,可由 $f^{\prime}(x)$ 的导数,即 $f "(x)$ 来判定.  如果函数具有二阶导数,就可利用二阶导数的符号来确定函数图形的凹凸性. **定理** 设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上连续,在 $I$ 内具有一阶及二阶导数,则 (1) 若在 $I$ 内 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ,则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的; (2) 若在 $I$ 内 $f^{\prime \prime}(x)<0$ ,则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的. `例`判断曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 的凹凸性. 解 $y=\mathrm{e}^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数 $y^{\prime}=\mathrm{e}^x, y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^x>0, x \in(-\infty,+\infty)$, 因此曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是凹的 (见图2-49).  `例` 判断曲线 $y=x^3$ 的凹凸性. 解 $y=x^3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数, $y^{\prime}=3 x^2, y^{\prime \prime}=6 x$. 当 $x \in(-\infty, 0]$ 时, $y^{\prime \prime}<0$ ,故曲线 $y=x^3$ 在 $(-\infty, 0]$ 上是凸的,当 $x \in[0,+\infty)$ 时, $y^{\prime \prime}>0$ , 故曲线 $y=x^3$ 在 $[0,+\infty)$ 上是凹的(见图2-50).  注 点 $(0,0)$ 为凹弧与凸弧的分界点. ### 连续曲线 $y=f(x)$ 上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点. 判断曲线 $y=f(x)$ 的凹凸性与求拐点的一般步骤如下. (1) 求出 $f^{\prime \prime}(x)$ ; (2) 找出方程 $f^{\prime \prime}(x)=0$ 的实根; (3) $f^{\prime \prime}(x)=0$ 的实根将函数 $y=f(x)$ 的定义域分为若干区间,在每个区间上确定 的符号,从而确定曲线 $f^{\prime \prime}(x)$ 的凹凸区间; (4) 若在 $f^{\prime \prime}(x)=0$ 的实根 $x_0$ 的两侧, $f^{\prime \prime}(x)$ 的符号相反, 则 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点. `例` 指出曲线 $ y=3 x^4-4 x^3+1 $ 的拐点及凹凸区间. 解 $$ \begin{aligned} & y=3 x^4-4 x^3+1 \text { 的定义域为 }(-\infty,+\infty) \\ & y^{\prime}=12 x^3-12 x^2 , y^{\prime \prime}=12\left(3 x^2-2 x\right)=12 x(3 x-2)=36 x\left(x-\frac{2}{3}\right) \\ & \text { 令 } y^{\prime \prime},=0\text { 得 } , x_1=0 \quad x_2=\frac{2}{3} \end{aligned} $$  因此,曲线 $y=3 x^4-4 x^3+1$ 的拐点为 $(0,1)$ 、 $\left(\frac{2}{3}, \frac{11}{27}\right)$; 凹区间为 $(-\infty, 0)$ 、 $\left(\frac{2}{3},+\infty\right)$ ;凸区间为 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ (见图2-51).  `例`证明曲线 $y=x^4$ 没有拐点. 证明 $y=x^4$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty) \quad y^{\prime}=4 x^3, y^{\prime \prime}=12 x^2$ 当 $x=0$ 时 $y^{\prime \prime}=0$ 而当 $x \neq 0$ 时 $y^{\prime \prime}>0$ ,因此曲线 $y=x^4$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是凹的,点 $(0,0)$ 并不是拐点 (见图2-52). 注 从本例也可看出,使 $y^{\prime \prime}=0$ 的点末 必是拐点。而从下例可以看出,导数不存在 的点也有可能是拐点.  `例` 求曲线 $y=\sqrt[3]{x}$ 没有拐点. 解 该函数在定义区间 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 当 $x \neq 0$ 时, $$ y^{\prime}=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}, y^{\prime \prime}=-\frac{2}{9 x \sqrt[3]{x^2}} $$ 当 $x=0$ 时, $y^{\prime} 、 y^{\prime \prime}$ 都不存在,故二阶导数在 $(-\infty,+\infty)$ 内没有零点. $x=0$ 是 $y^{\prime \prime}$ 不存在的点,它把 $(-\infty,+\infty)$ 分成两个 $\infty$ 部分区间: 在 $-\infty, 0)$ 内是凸的,在 $(0,+\infty)$ 这部分曲线上是凹的, 见图2-53  > 总结,一阶导数得到函数的增减性,二阶导数得到函数的凸凹性。
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