最后更新: 2025-05-31 18:47 查看: 590 次反馈同步训练

圆锥曲线的极坐标方程

##  极坐标系与极坐标方程

通过前面的学习，我们知道，在平面直角坐标系下，可以用一对有序实数表示平面上点的位置，进而建立曲线的直角坐标方程，从而用代数方法研究这些曲线的性质．但是，有些简单的曲线，在用上述方法求它的方程时，却会遇到比较大的困难．例如，设想平面上有一个动点 $M$ 在一条从点 $O$ 出发的射线 $O A$ 上做匀速运动逐渐远离点 $O$ ，而射线 $O A$ 本身又绕点 $O$ 以固定的角速度旋转．此时，动点 $M$ 在平面上的运动轨迹称为等速螺线（图 2－5－4），它在数学内部以及机械，工程等领域有广泛的应用．如图 2－5－5 所示的由两条对称的等速螺线拼成的心形转轮（红线所示）就会把转轮的旋转运动转化为横杆（蓝线所示）的往复水平运动．
 ![图片](/uploads/2025-04/0be8be.jpg)
但是，在平面直角坐标下要建立等速螺线的方程是一件比较复杂的事：把两点的距离用点的坐标写出，需要用到二次根式；而把旋转角用坐标表示出来，更要借助于反三角函数．因此，研究等速螺线及其他类似曲线，需要另辟蹊径．

事实上，确定平面上点的位置，采用平面直角坐标系并不是唯一的方法．现实生活中，人们也常用方向（实际上是角）和距离来确定平面上点的位置． 这就是极坐标系的基本思想．
## 极坐标
如图 2－5－7，在平面上取一定点 $O$ ，以 $O$ 为端点引射线 $O x$ ，再选定一个单位长度和旋转角的正方向（一般规定逆时针方向为正方向）．这时对于平面上异于点 $O$ 的任意一点 $M$ ，设 $\rho=$ $|O M|, \theta$ 表示以射线 $O x$ 为始边，射线 $O M$ 为终边的角，则点 $M$ 的位置可以用有序数对 $(\rho, \theta)$ 表示．我们把这样的坐标系叫做极坐标系（polar coordinate system）。

![图片](/uploads/2025-04/5b2bcd.jpg)
 
在极坐标系中，定点 $O$ 叫做**极点**（pole），射线 $O x$ 叫做极轴 （polar axis），$(\rho, \theta)$ 就叫做点 $M$ 的极坐标（polar coordinate），其中 $\rho$ 叫做点 $M$ 的极径（polar radius），$\theta$ 叫做点 $M$ 的极角（polar angle）．

与平面直角坐标系不一样的是，在极坐标系中，点的极坐标不唯一，如果 $(\rho, \theta)$ 是一点的极坐标，那么 $(\rho, \theta+2 n \pi)(n \in Z )$ 都可以作为它的极坐标．我们还允许 $\rho$ 取负值，当 $\rho<0$ 时，规定 $(\rho, \theta)$ 对应的点为 $(-\rho, \theta+\pi)$ ．此外，规定极点的坐标为 $(0, \theta)$ ，其中 $\theta$ 可以是任意角．

不难发现，在极坐标系中，点 $(\rho, \theta)$ 与 $(-\rho, \theta)$ 关于极点对称，点 $(\rho, \theta)$ 与 $(\rho,-\theta)$ 关于极轴对称．

尽管在极坐标系中点的坐标不唯一，但是在极坐标系中，除了极点外，平面上的所有点所成的集合和实数对集合 $\{(\rho, \theta) \mid \rho>0,0 \leqslant \theta<2 \pi\}$ 是一一对应的．也就是说，如果规定极径 $\rho$ 取正值，极角 $\theta$ 取小于 $2 \pi$ 的非负值，那么极点以外的任何点的极坐标也就唯一确定了．

`例`求圆心是 $C(a, 0)$ ，半径是 $a$ 的圆的极坐标方程．
解 如图 2－5－9，由题意知圆 $C$ 经过极点 $O$ ．设圆和极轴的另一个交点是 $M$ ，则 $|O M|=2 a$ ．设 $P(\rho, \theta)\left(-\frac{\pi}{2}<\theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 是圆 $C$ 上的任意一点．

若点 $P$ 不在直线 $O M$ 上，因为 $O M$ 是圆的直径，所以 $\angle O P M$ 为直角．在直角三角形 $O P M$ 中，$|O P|=|O M| \cos \theta$ ，即 $\rho=2 a \cos \theta$, 这里 $-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}, \theta \neq 0$.
 ![图片](/uploads/2025-04/d9971b.jpg)

当 $\theta=0$ 与 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，方程 $\rho=2 a \cos \theta$ 分别给出了点 $M$ 与点 $O$ ．
因此，圆 $C$ 的极坐标方程是

$$
\rho=2 a \cos \theta\left(-\frac{\pi}{2}<\theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right) .
$$

## 极坐标与直角坐标的转换

极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，有时需要在它们之间进行互相转化．

如图 2－5－12，把直角坐标系的原点作为极点，$x$ 轴的正半轴作为极轴，并且取相同的单位长度．设平面上任意一点 $M$ 的直角坐标为 $(x, y)$ ，极坐标为 $(\rho, \theta)$ 。

当 $\rho>0$ 时，由三角函数的定义，可以得到如下的关系式：

$$
x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta ...(1)
$$
 ![图片](/uploads/2025-04/1038a0.jpg)

当 $\rho=0$ 时，（1）式仍然成立．
当 $\rho<0$ 时，如图 2－5－13，点 $M$ 的极坐标也可用 $(-\rho, \pi+\theta)$表示，这时由于 $-\rho>0$ ，因此由三角函数的定义，可得

$$
\begin{aligned}
x & =-\rho \cos (\pi+\theta)=\rho \cos \theta, \\
y & =-\rho \sin (\pi+\theta)=\rho \sin \theta .
\end{aligned}
$$

这说明 $\rho<0$ 时，（1）式也成立．
综上所述，关系式（1）对于点 $M$ 的任一种表示法表示的极坐标都成立。

关系式（1）可以作为已知点的极坐标求该点的直角坐标的公式．

从关系式（1）中解出 $\rho, ~ \theta$ ，则有

$$
\rho^2=x^2+y^2, \tan \theta=\frac{y}{x}(x \neq 0) 。。。（2）
$$

关系式（2）可以作为已知点的直角坐标求该点的极坐标的公式．

通常取 $\rho$ 为正数，即 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$

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