最后更新: 2025-04-12 17:30 查看: 493 次反馈刷题

极坐标

##  极坐标系与极坐标方程

通过前面的学习，我们知道，在平面直角坐标系下，可以用一对有序实数表示平面上点的位置，进而建立曲线的直角坐标方程，从而用代数方法研究这些曲线的性质．但是，有些简单的曲线，在用上述方法求它的方程时，却会遇到比较大的困难．例如，设想平面上有一个动点 $M$ 在一条从点 $O$ 出发的射线 $O A$ 上做匀速运动逐渐远离点 $O$ ，而射线 $O A$ 本身又绕点 $O$ 以固定的角速度旋转．此时，动点 $M$ 在平面上的运动轨迹称为等速螺线（图 2－5－4），它在数学内部以及机械，工程等领域有广泛的应用．如图 2－5－5 所示的由两条对称的等速螺线拼成的心形转轮（红线所示）就会把转轮的旋转运动转化为横杆（蓝线所示）的往复水平运动．
 ![图片](/uploads/2025-04/0be8be.jpg)
但是，在平面直角坐标下要建立等速螺线的方程是一件比较复杂的事：把两点的距离用点的坐标写出，需要用到二次根式；而把旋转角用坐标表示出来，更要借助于反三角函数．因此，研究等速螺线及其他类似曲线，需要另辟蹊径．

事实上，确定平面上点的位置，采用平面直角坐标系并不是唯一的方法．现实生活中，人们也常用方向（实际上是角）和距离来确定平面上点的位置． 这就是极坐标系的基本思想．
## 极坐标
如图 2－5－7，在平面上取一定点 $O$ ，以 $O$ 为端点引射线 $O x$ ，再选定一个单位长度和旋转角的正方向（一般规定逆时针方向为正方向）．这时对于平面上异于点 $O$ 的任意一点 $M$ ，设 $\rho=$ $|O M|, \theta$ 表示以射线 $O x$ 为始边，射线 $O M$ 为终边的角，则点 $M$ 的位置可以用有序数对 $(\rho, \theta)$ 表示．我们把这样的坐标系叫做极坐标系（polar coordinate system）。

![图片](/uploads/2025-04/5b2bcd.jpg)
 
在极坐标系中，定点 $O$ 叫做**极点**（pole），射线 $O x$ 叫做极轴 （polar axis），$(\rho, \theta)$ 就叫做点 $M$ 的极坐标（polar coordinate），其中 $\rho$ 叫做点 $M$ 的极径（polar radius），$\theta$ 叫做点 $M$ 的极角（polar angle）．

与平面直角坐标系不一样的是，在极坐标系中，点的极坐标不唯一，如果 $(\rho, \theta)$ 是一点的极坐标，那么 $(\rho, \theta+2 n \pi)(n \in Z )$ 都可以作为它的极坐标．我们还允许 $\rho$ 取负值，当 $\rho<0$ 时，规定 $(\rho, \theta)$ 对应的点为 $(-\rho, \theta+\pi)$ ．此外，规定极点的坐标为 $(0, \theta)$ ，其中 $\theta$ 可以是任意角．

不难发现，在极坐标系中，点 $(\rho, \theta)$ 与 $(-\rho, \theta)$ 关于极点对称，点 $(\rho, \theta)$ 与 $(\rho,-\theta)$ 关于极轴对称．

尽管在极坐标系中点的坐标不唯一，但是在极坐标系中，除了极点外，平面上的所有点所成的集合和实数对集合 $\{(\rho, \theta) \mid \rho>0,0 \leqslant \theta<2 \pi\}$ 是一一对应的．也就是说，如果规定极径 $\rho$ 取正值，极角 $\theta$ 取小于 $2 \pi$ 的非负值，那么极点以外的任何点的极坐标也就唯一确定了．

`例`求圆心是 $C(a, 0)$ ，半径是 $a$ 的圆的极坐标方程．
解 如图 2－5－9，由题意知圆 $C$ 经过极点 $O$ ．设圆和极轴的另一个交点是 $M$ ，则 $|O M|=2 a$ ．设 $P(\rho, \theta)\left(-\frac{\pi}{2}<\theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 是圆 $C$ 上的任意一点．

若点 $P$ 不在直线 $O M$ 上，因为 $O M$ 是圆的直径，所以 $\angle O P M$ 为直角．在直角三角形 $O P M$ 中，$|O P|=|O M| \cos \theta$ ，即 $\rho=2 a \cos \theta$, 这里 $-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}, \theta \neq 0$.
 ![图片](/uploads/2025-04/d9971b.jpg)

当 $\theta=0$ 与 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，方程 $\rho=2 a \cos \theta$ 分别给出了点 $M$ 与点 $O$ ．
因此，圆 $C$ 的极坐标方程是

$$
\rho=2 a \cos \theta\left(-\frac{\pi}{2}<\theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right) .
$$

## 极坐标与直角坐标的转换

极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，有时需要在它们之间进行互相转化．

如图 2－5－12，把直角坐标系的原点作为极点，$x$ 轴的正半轴作为极轴，并且取相同的单位长度．设平面上任意一点 $M$ 的直角坐标为 $(x, y)$ ，极坐标为 $(\rho, \theta)$ 。

当 $\rho>0$ 时，由三角函数的定义，可以得到如下的关系式：

$$
x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta ...(1)
$$
 ![图片](/uploads/2025-04/1038a0.jpg)

当 $\rho=0$ 时，（1）式仍然成立．
当 $\rho<0$ 时，如图 2－5－13，点 $M$ 的极坐标也可用 $(-\rho, \pi+\theta)$表示，这时由于 $-\rho>0$ ，因此由三角函数的定义，可得

$$
\begin{aligned}
x & =-\rho \cos (\pi+\theta)=\rho \cos \theta, \\
y & =-\rho \sin (\pi+\theta)=\rho \sin \theta .
\end{aligned}
$$

这说明 $\rho<0$ 时，（1）式也成立．
综上所述，关系式（1）对于点 $M$ 的任一种表示法表示的极坐标都成立。

关系式（1）可以作为已知点的极坐标求该点的直角坐标的公式．

从关系式（1）中解出 $\rho, ~ \theta$ ，则有

$$
\rho^2=x^2+y^2, \tan \theta=\frac{y}{x}(x \neq 0) 。。。（2）
$$

关系式（2）可以作为已知点的直角坐标求该点的极坐标的公式．

通常取 $\rho$ 为正数，即 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ ；由 $\tan \theta=\frac{y}{x}$ 确定角度 $\theta$时，一般根据此点所在的象限取最小正角，满足 $0 \leqslant \theta<2 \pi$ ．

`例` 化直角坐标方程 $x-y=0$ 为极坐标方程．
解 将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人 $x-y=0$ ，得

$$
\begin{aligned}
& \rho \cos \theta-\rho \sin \theta=0 \\
& \rho(\cos \theta-\sin \theta)=0
\end{aligned}
$$

解得

$$
\rho=0 \text { 或 } \cos \theta-\sin \theta=0 \text {. }
$$

由 $\cos \theta-\sin \theta=0$ ，得 $\tan \theta=1$ ．
解得

$$
\theta=\frac{\pi}{4} \text { 或 } \theta=\frac{5 \pi}{4} \text {. }
$$

因为 $\rho=0$ 表示极点，而 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 及 $\theta=\frac{5 \pi}{4}$ 均表示过极点的射线，所以 $\rho=0$ 已包含在 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 或 $\theta=\frac{5 \pi}{4}$ 中．

因此，所化的极坐标方程为 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 或 $\theta=\frac{5 \pi}{4}$ ．

例 11 化极坐标方程 $\rho=4 \cos \theta$ 为直角坐标方程，并指出它是什么曲线。

解 当 $\rho \neq 0$ 时，由 $\rho=4 \cos \theta$ ，得

$$
\rho^2=4 \rho \cos \theta
$$

由此得 $x^2+y^2=4 x$ ，即

$$
(x-2)^2+y^2=4 ...(3)
$$

当 $\rho=0$ 时，满足 $\rho=4 \cos \theta$ 的点为极点，即直角坐标系的原点 $(0,0)$ ，它也满足方程（3）．

所以，$\rho=4 \cos \theta$ 是以 $(2,0)$ 为圆心，以 2 为半径的圆．

## 圆锥曲线的极坐标方程
在[极坐标系](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=164)中可以给出圆锥曲线的一个简洁的统一方程．不过，圆不能被这个统一方程包括，所以本阅读材料中的圆锥曲线不包括圆．

先讨论一下圆锥曲线的统一定义。回忆一下抛物线的定义：给定平面上的一个定点和一条定直线，抛物线是该平面上到此定点和到此定直线距离相等的点的轨迹，也就是说，抛物线是该平面上到此定点和到此定直线距离之比等于 1 的点的轨迹．我们知道，给定的定点是抛物线的焦点，给定的定直线是抛物线的准线．

我们希望模仿抛物线的这一定义给出椭圆的定义。暂时在直角坐标系中讨论．设椭圆的一个焦点为 $F(c, 0)$ ，长半轴长为 $a$ ，则一点 $M(x, y)$ 在椭圆上当且仅当

$$
\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2 a .
$$

由于圆不在考虑范围内，$c \neq 0$ ，上式经变形化为等价条件

$$
\frac{\sqrt{(x-c)^2+y^2}}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}=e,
$$

其中 $e=\frac{c}{a}$ 是椭圆的离心率，我们还把直线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ 称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点 $F(c, 0)$ 与到准线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ 的距离之比等于离心率 $e$ 的点的轨迹，其中离心率满足 $0<e<1$ ．

由类似的推导过程可知，双曲线是到焦点 $F(c, 0)$ 与到准线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ 的距离之比等于离心率 $e$ 的点的轨迹，此时离心率 $e>1$ ．

由此，可以得到圆锥曲线的一个统一定义：圆**锥曲线是到一个定点 $F$ 和到一条定直线 $l(F \notin l)$ 距离之比为定值 $e$ 的点的轨迹．其中，当 $0<e<1$ 时，轨迹为椭圆；当 $e=1$时，轨迹为抛物线；当 $e>1$ 时，轨迹为双曲线．**

据此定义可以建立圆锥曲线的统一极坐标方程．
设定点 $F$ 到定直线 $l$ 的距离为 $p(p>0)$ ，过定点 $F$ 作定直线 $l$的垂线，垂足为 $K$ ．如图  ，以定点 $F$ 为极点 $O$ ，以 $F K$ 的反向延长线 $F x$ 为极轴，建立极坐标系．

设动点 $M$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$ ，则点 $M$ 到定直线 $l$ 的距离为
  ![图片](/uploads/2025-02/b89167.jpg)
  
  而 $|M F|=\rho$ ，由圆锥曲线的统一定义，有 $\frac{|M F|}{d}=e$ ，可得 $\rho=e d=e(p+\rho \cos \theta)$ ，整理可得

$$
\boxed{
\rho=\frac{e p}{1-e \cos \theta} .
}
$$

这就是圆锥曲线的统一极坐标方程．如下图，当 $0<e<1$ 时，方程表示左焦点在极点的椭圆；当 $e=1$ 时，方程表示焦点在极点，开口向右的抛物线；当 $e>1$ 时，方程表示右焦点在极点的双曲线的右支．

![图片](/uploads/2025-02/d07cf8.jpg)
 
 以上内容摘自沪教版高中数学教材。

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【高中数学】课外阅读：圆锥曲线的终极统一

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