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函数的极值及其求法
日期:
2022-12-28 10:53
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定义1 设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有定义， $x_0 \in(a, b)$ ， 如果存在点 $x_0$ 的一 个邻域 $U\left(x_0\right)$ ，当 $x \in \stackrel{o}{U}\left(x_0\right)$ 时，恒有 $f(x)<f\left(x_0\right)$ (或 $f(x)>f\left(x_0\right)$ ，则 称 $f\left(x_0\right)$ 为 $f(x)$ 的极大值 (或极小值) ， $x_0$ 称为 $f(x)$ 的极大值点 (或极小值 点). 函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.  下面先考虑函数可导的情况下的极值的求法. 定理2 (极值的必要条件) 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且在点 $x_0$ 处取 得极值，则必有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$. 证明 不妨设 $f\left(x_0\right)$ 是函数 $f(x)$ 的极小值。由定义知，存在点 $x_0$ 的一个 邻域 $U\left(x_0\right)$ 当 $x \in \stackrel{0}{U}\left(x_0\right)$ 时，恒有 $f(x)>f\left(x_0\right)$ 故 当 $x<x_0$ 时， $\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}<0$ ，因此 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \leq 0$ 当 $x>x_0$ 时， $\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}>0 ，$ 因此 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{x \rightarrow x_0^*} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \geq 0$ 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 使 $f^{\prime}(x)=0$ 的实根 $x_0$ 称为 $f(x)$ 的驻点.由此可得，若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导， $x_0$ 是极值点，则 $x_0$ 必是驻点. 反之不然，例如 $y=x^3$ 在 $x=0$ 处有 $y^{\prime}=0$ 但 $\quad x=0$ 并不是极值点  极值点必是驻点的前提是函数在该点出可导，例如 $y=|x|$ 在$x=0$处有极小值，但是在该点不可导，所以不是驻点。 定理3 (极值第一充分条件) 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域 $U\left(x_0\right)$ 内连续， 在 $x \in \stackrel{0}{U}\left(x_0\right)$ 内可导. (1) 如果 $x$ 在 $x_0$ 的左邻域内有 $f^{\prime}(x)>, 0$ 在 $x_0$ 的右邻域内有 $f^{\prime}(x)<, 0$ 则 $f(x)$ 在点 $x$ 处取得极大值 (见图2-38) (2) 如果 $x$ 在 $x_0$ 的左邻域内有 $f^{\prime}(x)<0$ ，在 $x_0$ 的右邻域内有 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极小值 (见图2-39).  (3) 如果 $x \in \stackrel{o}{U}\left(x_0\right) f^{\prime}(x)$ 恒正或恒负，则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处无极值 (见图2-40).  证明 (1) 如果 $x$ 在 $x_0$ 的 左邻域内有 $f^{\prime}(x)>0$ ， 在 $x_0$ 的右邻域内有 $f^{\prime}(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左邻域内单调增加，在 $x_0$ 的右邻域内单调减少， 即当 $x \in \stackrel{\circ}{U}\left(x_0\right)$ 时，恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_0\right)$ 因此 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极大值. (2)、(3)同理可证. 由定理 3 可得下列求极值的步骤： (1) 求导数 $f^{\prime}(x)$ ； (2) 找出所有驻点和不可导的点; (3) 在这些点的两侧确定 $f^{\prime}(\mid x)$ 的符号； (4) 确定极值点，求出极值. 例9 求出函数 $f(x)=x^3-3 x^2-9 x+5$ 的单调区间和极值. 解 $f^{\prime}(x)=3 x^2-6 x-9=3(x+1)(x-3)$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x_1=-1$ ， $x_2=3$ 如表2-1 所示，可得 $f(x)$ 的单调增区间为 $(-\infty,-1)$ 和 $(3,+\infty)$ ， 单调 减区间为 $(-1,3)$.  $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值 $f(-1)=10$ ，在 $x=3$ 处取得极小值 $f(3)=-22$. 图形如图2-41所示.  例10 求函数 $f(x)=1-(x-2)^{\frac{2}{3}}$ 的极值. 解 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续.当 $x \neq 2$ 时， $$ f^{\prime}(x)=-\frac{2}{3 \sqrt[3]{x-2}} $$ 当 $x=2$ 时， $f^{\prime}(x)$ 不存在. 在 $(-\infty, 2)$ 内， $f^{\prime}(x)>0 ，$ 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 2)$ 上单调增加；在 $(2,+\infty)$ 内， $f^{\prime}(x)<0$ 函数 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上单调减少，因此 $f(2)=1$ 是函数 $f(x)$ 的极大值.函数的图形如图2-42所示.  定理4 (极值第二充分条件) 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处具有二阶导数，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0 ， f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \neq 0$ ，则当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0 \quad$ 时，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极大值， 当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$ 时，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极小值. 证明 若 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0$, 即 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}\left(x_0\right)}{x-x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{x-x_0}<0$ ，则存 在 $\stackrel{\circ}{U}\left(x_0\right)$ ，当 $x \in \stackrel{0}{U}\left(x_0\right)$ 时， $\frac{f^{\prime}(x)}{x-x_0}<0$. 因此，当 $x<x_0$ 时， $f^{\prime}(x)>0$ ，当 $x>x_0$ 时， $f^{\prime}(x)<0$. 故函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极大值. 同理可证 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$ 时的情形. 注 条件 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 不可缺 如取 $f_1(x)=-x^4 ， f_2(x)=x^4 ， f_3(x)=x^3$ ，显然 $f_1^{\prime}(0)=f_2^{\prime}(0)=f_3^{\prime}(0)=0$ ， 且 $f_1^{\prime \prime}(0)=f_2^{\prime \prime}(0)=f_3^{\prime \prime}(0)=0$ ，可以看出 $f_1(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值， $f_2(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值， $f_3(x)$ 在 $x=0$ 处无极值 (见图2-43).  例11 求函数 $f(x)=\mathrm{e}^x \cos x$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的极值. 解 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x(\cos x-\sin x) ， f^{\prime \prime}(x)=-2 \mathrm{e}^x \sin x$ 令 $f^{\prime}(x)=0$ ，因为 $\mathrm{e}^x>0$ ，故 $\cos x-\sin x=0$ ， 得驻点 $$ x=\frac{\pi}{4} \text { 及 } x=\frac{5 \pi}{4} $$ 又 $$ f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)<0, \quad f^{\prime \prime}\left(\frac{5 \pi}{4}\right)>0 ， $$ 故在 $x=\frac{\pi}{4}$ 处取得极大值 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$ 在 $x=\frac{5 \pi}{4}$ 处取极小值 $f\left(\frac{5 \pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{e}^{\frac{5 \pi}{4}}$ 例12 求函数 $f(x)=3 x^4-8 x^3+6 x^2+1$ 的极值. 解 $f^{\prime}(x)=12 x^3-24 x^2+12 x=12 x(x-1)^2$ ， $$ f^{\prime \prime}(x)=12\left(3 x^2-4 x+1\right)=12 x(3 x-1)(x-1) . $$ 令 $f^{\prime}(x)=0$ ， 求得驻点 $x=0, x=1$ ， 得 $f^{\prime \prime}(0)=12>0, f^{\prime \prime}(1)=0$ 由第二充分条件知， $f(0)=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值. 因为 $f^{\prime \prime}(0)=0$ ，需用第一充分条件判定驻点的情形. 在 $x=1 $ 的两侧，由于当 $0<x<1 , \quad x>1 $ 时皆有 $ f^{\prime}(x)>0 $ 故 $ x=1$ 不 是极值点
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