直线方程

日期: 2023-10-26 21:05 查看: 16 次更新导出Word

如下图，一条直线与坐标系相交。从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。常用直线向上方向与 X 轴正向的 夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。

在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

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## 直线方程的求法

归纳如下图
![图片](/uploads/2023-10/91bfc1.jpg)

**易错点**
(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.
(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数.
(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.

**例1**：已知直线过 $A(3, m+1), B(4,2 m+1)$ 两点且倾斜角为 $\frac{5}{6} \pi$ ，则 $m$ 的值为

【解析】因直线 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{5}{6} \pi$ ，则其斜率 $k=\tan \frac{5}{6} \pi=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，又由 $A(3, m+1), B(4,2 m+1)$ ，

则 $A B$ 的斜率 $k=\frac{(2 m+1)-(m+1)}{4-3}=m$ ，
则有 $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
【点拨】求斜率有两种方法: $k=\tan \alpha$ 与斜率公式 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

**例2：** 直线 $x+y \cos \theta-5=0$ 的倾斜角 $\alpha$ 的取值范围是
【解析】(直线一般式 $a x+b y+c=0(b \neq 0)$ 化为斜截式可知斜率 $k=-\frac{a}{b}$, 注意斜率是否存在)

若 $\cos \theta=0$ ，则直线方程为 $x=5$ ，即倾斜角 $\alpha=\frac{\pi}{2}$ ；

若 $\cos \theta \neq 0$ ，则直线方程为 $y=-\frac{1}{\cos \theta} x+\frac{5}{\cos \theta}$ ，即 $\tan \alpha=-\frac{1}{\cos \theta}$ ，

$$
\begin{aligned}
& \because \cos \theta \in[-1,0) \cup(0,1], \\
& \therefore-\frac{1}{\cos \theta} \leq-1 \text { 或 }-\frac{1}{\cos \theta} \geq 1 ，
\end{aligned}
$$

即 $\tan \alpha \leq-1$ 或 $\tan \alpha \geq 1$ ，解得 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ ，
(结合 $y=\tan \alpha$ 图象可求)
综上可得 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$.

**例3**： 设点 $A(2,-3) ， B(-3,-2)$ ，直线 $l$ 过点 $P(1,1)$ 且与线段 $A B$ 相交，则 1 的斜率 $k$ 的取值范围为

【解析】如图所示，设直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $C$ ，
![图片](/uploads/2023-10/image_2023102634dd002.png)
当 $P C \perp x$ 轴时直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $D$ ，
当点 $C$ 在 $B D$ 上运动时，斜率 $k$ 满足 $k \geq k_{P B}$ ，
当点 $C$ 在 $D A$ 上运动时， $k \leq k_{P A}$ ，
即 $k \geq \frac{1+2}{1+3}=\frac{3}{4}$ 或 $k \leq \frac{1+3}{1-2}=-4$ ，
$\therefore k \geq \frac{3}{4}$ 或 $k \leq-4$ ，
即直线的斜率的取值范围是 $\left[\frac{3}{4},+\infty\right) \cup(-\infty,-4]$.
【点拔】
(1) 注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法，结合图象思考;
(2) 注意到直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直的临界处.

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