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高中数学
附录：极坐标与参数方程
球坐标
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2023-10-06 08:22
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球坐标
## 球座标系 球座标系 (英语: spherical coordinate system) 是数学上利用球座标 $(r, \theta, \varphi$ )表示一个点 $\mathrm{P}$ 在二维空间 distance) $r$ ，原点到点 $\mathrm{P}$ 的连线与正 $z$-轴之间的“极角” (polar angle) $\theta$ ，以及原点到点 $\mathrm{P}$ 的连线在xy-平 面的投影线，与正x-轴之间的“方位角” (azimuth angle) $\varphi$ 。它可以被视为极坐标系的三维推广。球座 标的概念，延伸至高维空间，则称为超球座标。 {width=400px} ## 球坐标与直角坐标的转换。 参考下图 {width=400px} 使用以下等式，可从直角坐标变换为球坐标: $$ \begin{aligned} & r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ & \theta=\arccos \left(\frac{z}{r}\right)=\arcsin \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r}\right)=\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right), \\ & \varphi=\arccos \left(\frac{x}{r \sin \theta}\right)=\arcsin \left(\frac{y}{r \sin \theta}\right)=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) . \end{aligned} $$ 计算 $\varphi$ 时: 1. 必须依照 $(x, y)$ 所处的象限来计算
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