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极值举例
日期:
2022-12-28 15:20
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若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有唯一驻点，且此驻点为极大 (小) 值，则此极大 (小) 值 必为最大 (小) 值. 例 3 由直线 $y=0, x=8$ 及 抛物线 $y=x^2$ 围成一个曲边三角形，在曲边 $y=x^2$ 上求一点，使曲线在该点处的切线与直线 $y=0$ 及 $x=8$ 所围成的三角形面积最大. 解 设 $P\left(x_0, y_0\right)$ 为抛物线 $y=x^2$ 上任意一点，该点处的切线斜率 $k=2 x_0$, 过该 点的切线为 $y-y_0=2 x_0\left(x-x_0\right)$ 即 $y=2 x_0 x-y_0$ 则此切线与 $x$ 轴的交点为 $A\left(\frac{x_0}{2}, 0\right)$ 与 直线 $x=8$ 的交点为 $B\left(0,16 x_0-x_0^2\right)$ (见图2-62). 根据几何分析，所求三角形面积为 $$ S=\frac{1}{2}\left(8-\frac{1}{2} x_0\right)\left(16 x_0-x_0^2\right)\left(0 \leq x_0 \leq 8\right) \text {, } $$ 由 $S^{\prime}=\frac{1}{4}\left(3 x_0^2-64 x_0+16 \times 16\right)=0$ ，解得区间 $(0,8)$ 内的唯一驻点 $x_0=\frac{16}{3}$. 因为 $S "\left(\frac{16}{3}\right)=-8<0$ 所以 $S\left(\frac{16}{3}\right)=\frac{4096}{27}$ 为极大值，故 $x_0=\frac{16}{3}$ 时所围成的三角形面积最大.  在很多实际问题中，上述求最大值、最小值的方法还可进一步简化. 如果根据问题 的性质，我们可以断定可导函数 $f(x)$ 确有最大值（或最小值），而且该最大值 (或最小值) 一定在定义区间的内部取得. 这时，如果方程 $f^{\prime}(x)=0$ 在定义 区间内部只有 $x_0$ 一个根 $f(x)$ (函数 在定义区间内部只有 $x_0$ 唯一驻点 ) ），那么不必讨论 $f\left(x_0\right)$ 是否是极值，就可以断定 $f(x_0)$ 必为所求的最大值（或最小值）. 例4 某工厂需要围建一个面积为 $512 m^2$ 的矩形堆料场，一边可以利用原有的 墙壁，其他三边需要砌新的墙壁. 问：堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所 用的材料最省? 解 要求原料最省，就是要求新砌的墙壁总长度最短. 如图2-63所示，设场地的宽为 $x(m)$ ，为使场地面积等于 $512 m^2$ ， 则长为 $\frac{512}{x}(\mathrm{~m})$ ， 因此新墙的总长度为 $l=2 x+\frac{512}{x}$ $(x>0)$ ，这就是目标函数. 下面讨论 $x$ 为何值时， $l$ 取得最 小值。为此，求 $l$ 对 $x$ 的导数 $l^{\prime}=2-\frac{512}{x^2}$. 解方程 $l^{\prime}=0$ ， 得 $x=16$.  例5 某房地产公司有 50 套公寓要出租，当租金定为每月 180 元时，公寓会全 部租出去. 当租金每月增加 10 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月 需花费20元的整修维护费.试问：房租定为多少可获得最高收入? 解 设房租为每月 $x$ 元，租出去的房子有套，每月总收入为 $R(x)=(x-20)\left(50-\frac{x-180}{10}\right)=(x-20)\left(68-\frac{x}{10}\right)$, $R^{\prime}(x)=\left(68-\frac{x}{10}\right)+(x-20)\left(-\frac{1}{10}\right)=70-\frac{x}{5}$, 解 $R^{\prime}(x)=0$, 得 $x=350$ (唯一驻点). 故每月每套租金为 350 元时，收入最高。最高收入为 $R(350)=10890$ (元).
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