弧微分的概念

日期: 2022-12-28 15:23 查看: 84 次

工程技术与生产实践中常常要考虑曲线的弯曲程度， 如公路、铁路的弯道（见图2-64）机床与土木建筑中的轴或梁在荷载作用下产生的弯曲变形. 在设计时对它们的弯曲程度都有一定的限制，因此要讨论如何定量地描述曲线的弯曲程度. 这就引出了曲率的概念.
在介绍曲率之前，需要先引进弧微分的概念.

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内具有一阶连续导数，其图形为一条处处有切线 的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，通常这样的曲线必为光滑曲线. 在曲线  $y=f(x)(x \in(a, b))$ 上取固定点 $M_0\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 作为度量弧长的基点，并规定:
（1）以 增大的方向作为曲线的正向；
(2) 对曲线上任意点 $M(x, f(x))$ 有向线段
$\overparen{M_0 M}$ 的长度为 $s=|s| \operatorname{sgn}\left(x-x_0\right)$ 称为弧. $s$
由此可知弧 $s$ 是 $x$ 的函数： $s=s(x)$ 且它是
单调增加的 (见图2-65)

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现在考虑 $\lim _{\Delta x \rightarrow \infty} \frac{\Delta s}{\Delta x} \quad \Delta s=\overparen{M_0 M^{\prime}}-\overparen{M_0 M}=\overparen{M M^{\prime}}$
由 $\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)^2=\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\Delta x}\right)^2=\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2\left(\frac{\overline{M M^{\prime}}}{\Delta x}\right)^2=\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2 \cdot \frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}=\left(\frac{M^{\prime}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2\left[1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right]$
得 $\frac{\Delta s}{\Delta x}=\pm \sqrt{\left(\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right)^2\left[1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right]}=\pm\left|\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right| \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}$.
由于当 $\Delta x$ 㫛 $0 \quad M^{\prime} \rightarrow M \quad \lim _{M^{\prime} \rightarrow M}\left|\frac{\overparen{M M^{\prime}}}{\overline{M M^{\prime}}}\right|=1, \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x^{\prime}}\right)^2=y^{\prime 2}$
注意到 $s=s(x)$ 单调增加 即 $y^{\prime} \geq 0$ ，因此 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$

由此可得弧微分公式为 $\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x$
若曲线由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ ，给出，则有 $\mathrm{d} s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$
若曲线方程为极坐标形式 $r=r(\theta)$ ， (极坐标系内容详见第三章第七节)，
则有 $\mathrm{d} s=\sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta$

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