极坐标

日期: 2023-10-06 08:39 查看: 54 次更新导出Word

## 极坐标

在数学中，极坐标系（英语：polar coordinate system）是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。
在航海里，使用极坐标远比使用直角坐标方便，比如轮船在我方东南方30度方位，距离我方10海里，会比说轮船在$(x,y)$ 坐标方便。

在下图里，在极点为$O$、极轴为$L$的极坐标系里，点$（3, 60°）$的径向座标为$3$、角座标为$60°$，而点$（4, 210°）$的径向座标为$4$、角座标为$210°$。

![图片](/uploads/2023-10/c2e0e9.svg)

## 圆的极坐标表示

在极坐标系中，圆心在 $\left(r_0, \varphi\right)$ 半径为 $a$ 的圆的一般方程为

$$
r^2-2 r r_0 \cos (\theta-\varphi)+r_0^2=a^2
$$

特定情况：比如方程

$$
r(\theta)=a
$$

表示一个以极点为中心半径为 $a$ 的圆。

**推导**
设圆的半径为 $r$ ，圆心的极坐标为 $\left(p_0, \alpha\right)$ ，并变换为直角坐标: $\left(p_0 \cos \alpha, p_0 \sin \alpha\right)$ 。则圆上的点的直角 坐标系方程为:

$$
\left(x-p_0 \cos \alpha\right)^2+\left(y-p_0 \sin \alpha\right)^2=r^2
$$

设圆上的点的极坐标为 $(p, \beta)$ ，则

$$
x=p \cos \beta, \quad y=p \sin \beta
$$

因此，

$$
p^2-2 p p_0(\sin \beta \sin \alpha+\cos \beta \cos \alpha)+p_0^2=r^2 ，
$$

化简为

$$
p^2+p_0^2-2 p p_0 \cos (\beta-\alpha)=r^2
$$

## 阿基米德螺旋线

阿基米德螺线 (图 1) 的极坐标方程为

$$
r=a+b \theta \quad(\theta>-a / b) .
$$

注意虽然从原点发出的任意射线都与曲线有无穷多个交点，但一个 $\theta$ 仍然只对应一个 $r$ ，函数仍然是单值的。
![图片](/uploads/2023-10/e45cd7.jpg)

自然界中，在千姿百态的生命体上发现了不少螺线。如原生动物门中的砂盘虫；软体动物门中梯螺科中的尖高旋螺，凤螺科中的沟纹笛螺，明螺科中的明螺，又如塔螺科的爪哇拟塔螺、奇异宽肩螺、笋螺科的拟笋螺等大多数螺类，它们的外壳曲线都呈现出各种螺旋状；在植物中，则有紫藤、茑萝、牵牛花等缠绕的茎形成的曲线，烟草螺旋状排列的叶片，丝瓜、葫芦的触须，向日葵籽在盘中排列形成的曲线；甚至构成生命的主要物质——蛋白质、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋结构，如人类遗传基因(DNA)中的双螺旋结构。其中，自然界中的砂盘虫化石，蛇盘绕起来形成的曲线等都可以构成阿基米德螺线。

螺线之所以在生命体中广泛存在，是由于螺线的若干优良性质所确定。各种曲线中，螺线就起到省材、节约能量消耗的作用，在相同的空间中使其叶子获取较多的阳光，这对植物光合作用尤为重要

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