最后更新: 2025-05-26 10:49 查看: 550 次反馈同步训练

贝叶斯公式

## 贝叶斯公式是干啥的？

贝叶斯定理源于贝叶斯生前为解决一个“逆向概率”问题写的一篇文章，而这篇文章是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。在贝叶斯写这篇文章之前，人们已经能够计算“正向概率”，如“假设袋子里面有 N 个白球，M 个黑球，你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大”。而一个自然而然的问题是反过来：“如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测”。这个问题，就是所谓的逆向概率问题。

## 贝叶斯公式通俗解释

①在医院里，假设感冒、 肺结核、白血病、肿瘤都会引起**发热**，其中感冒引起发热的占比为50%, 肺结核引起发热的占比为20%，白血病引起发热的占比为20%，肿瘤引起发热的占比为10%，现在问一下：如果一个人发热了，求他是白血病的概率是多大？

②再例如，一个工厂有A,B,C三个车间生产同一个产品x的良品率分别是95%，98%，96%，某天厂长拿一个产品x进行检测，结果发现是不良品，问这个不良品是A车间产生的可能性的概率多大？

从上面例子可以看出，贝叶斯公式是由“**由果寻因**”。 在第一个例子里，这里的“果”就是知道病人发热了，而“因”就是他是哪种疾病引起的？ 而在第二个例子是，这里的“果”就是知道的产品是不良的，要寻找的“因”是他是哪个车间生产的。

这就是贝叶斯公式要解决的问题。

## 贝叶斯公式定义

贝叶斯公式可以写成

$$
P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}
$$

其中 $P(A|B)$是在 $B$ 发生的情况下 $A$ 发生的可能性。

在贝叶斯定理中，每个名词都有约定俗成的名称：

① $P(A)$ 是 $A$ 的先验概率，之所以称为 “先验” 是因为它不考虑任何 $B$ 方面的因素。
② $P(A \mid B)$ 是已知 $B$ 发生后 $A$ 的条件概率，也由于得自 $B$ 的取值而被称作 $A$ 的后验概率。
③ $P(B \mid A)$ 是已知 $A$ 发生后 $B$ 的条件概率，也由于得自 $A$ 的取值而被称作 $B$ 的后验概率。
④ $P(B)$ 是 $B$ 的先验概率，也作标淮化常量 (normalizing constant)。

以上面医院生病例子说明， $ P(A)$ 已知道白血病的概率， $P(B)$ 表示已经发热，
贝叶斯公式的意思是说：在这个人已经发热的情况下他是白血病的概率   等于 在已知白血病情况下导致发热的概率除以发热的概率。

> 贝叶斯公式的作用是**已知结果找原因。**

`例` 有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 $6 \%$ ，第 2 ， 3 台加工的次品率均为 $5 \%$ ，加工出来的零件混放在一起．已知第 $1,2,3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $25 \%, ~ 30 \%, ~ 45 \%$ 。
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第 $i(i=1,2,3)$ 台车床加工的概率．

解：分析：取到的零件可能来自第 1 台车床，也可能来自第 2台或第 3 台车床，有 3 种可能。设 $B=$＂任取一零件为次品＂， $A_i=$＂零件为第 $i$ 台车床加工＂$(i=1,2,3)$ ，如图  所示，可将事件 $B$ 表示为 3 个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件 $B$ 的概率．
 ![图片](/uploads/2025-05/3051b9.jpg)

设 $B=$＂任取一个零件为次品＂，$A_i=$＂零件为第 $i$
图 7．1－3
台车床加工＂$(i=1,2,3)$ ，则 $\Omega=A_1 \cup A_2 \cup A_3$ ，且 $A_1$ ，
$A_2, A_3$ 两两互斥．根据题意得

$$
\begin{aligned}
& P\left(A_1\right)=0.25, P\left(A_2\right)=0.3, P\left(A_3\right)=0.45, \\
& P\left(B \mid A_1\right)=0.06, P\left(B \mid A_2\right)=P\left(B \mid A_3\right)=0.05 .
\end{aligned}
$$

（1）由全概率公式，得

$$
\begin{aligned}
P(B) & =P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)+P\left(A_3\right) P\left(B \mid A_3\right) \\
& =0.25 \times 0.06+0.3 \times 0.05+0.45 \times 0.05 \\
& =0.0525 .
\end{aligned}
$$

（2）＂如果取到的零件是次品，计算它是第 $i(i=1,2,3)$ 台车床加工的概率＂，就是

计算在 $B$ 发生的条件下，事件 $A_i$ 发生的概率．

$$
P\left(A_1 \mid B\right)=\frac{P\left(A_1 B\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)}{P(B)}=\frac{0.25 \times 0.06}{0.0525}=\frac{2}{7} .
$$

类似地，可得

$$
P\left(A_2 \mid B\right)=\frac{2}{7}, P\left(A_3 \mid B\right)=\frac{3}{7}
$$

`例` 在数字通信中，信号是由数字 0 和 1 组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号 0 或 1 有可能被错误地接收为 1 或 0 ．已知发送信号 0 时，接收为 0 和 1 的概率分别为 0.9 和 0.1 ；发送信号 1 时，接收为 1 和 0 的概率分别为 0.95 和 0.05 ．假设发送信号 0 和 1 是等可能的．
（1）分别求接收的信号为 0 和 1 的概率；
（2）已知接受的信号为0，求发送的型号是1的概率

分析：设 $A=$＂发送的信号为 0 ＂，$B=$ ＂接收到的信号为 0 ＂．为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图直观表示．
 ![图片](/uploads/2025-05/8bf4c1.jpg)
 
 解：设 $A="$ 发送的信号为 $0 ", B=$＂接收到的信号为 0 ＂，则 $\bar{A}=$＂发送的信号为 $1 ", \bar{B}="$ 接收到的信号为 1 ＂．由题意得

$$
\begin{aligned}
& P(A)=P(\bar{A})=0.5, P(B \mid A)=0.9, P(\bar{B} \mid A)=0.1, \\
& P(B \mid \bar{A})=0.05, P(\bar{B} \mid \bar{A})=0.95 .
\end{aligned}
$$

（1）$P(B)=P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})=0.5 \times 0.9+0.5 \times 0.05=0.475$ ， $P(\bar{B})=1-P(B)=1-0.475=0.525$.
（2）$P(\bar{A} \mid B)=\frac{P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})}{P(B)}=\frac{0.5 \times 0.05}{0.475}=\frac{1}{19}$ ．

## 贝叶斯公式与人工智能
人工智能（Artificial Intelligence，缩写为 AI）是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，目的是理解人类智能的实质，并制造以近似人类智能方式工作的机器，如机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理、自动驾驶等。人工智能被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能理论背后的一个基本原理就是本节的贝叶斯公式．

贝叶斯公式的思想最早出现于贝叶斯的论文《论有关机遇问题的求解》，发表于他去世后的1763年．后来法国数学家

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