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贝叶斯公式
贝叶斯公式
日期:
2023-11-05 22:07
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一般地, 当 $1>P(A)>0$ 且 $P(B)>0$ 时, 有 $$ P(A \mid B)=\frac{P(A) P(B \mid A)}{P(B)}=\frac{P(A) P(B \mid A)}{P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})} . $$ 这称为贝叶斯公式. **定理2 **若样本空间 $\Omega$ 中的事件 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 满足: （1）任意两个事件均互斥, 即 $A_i A_j=\varnothing, i, j=1,2, \cdots, n, i \neq j$; (2) $A_1+A_2+\cdots+A_n=\Omega$; (3) $1>P\left(A_i\right)>0, i=1,2, \cdots, n$. 则对 $\Omega$ 中的任意概率非零的事件 $B$, 有 $$ P\left(A_j \mid B\right)=\frac{P\left(A_j\right) P\left(B \mid A_j\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_j\right) P\left(B \mid A_j\right)}{\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)} . $$ 上述公式也称为贝叶斯公式. 已知某地居民肝癌的发病率为 0.000 4. 通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌, 但这种检测方法可能出错, 具体是: 患有肝癌但检测显示正常的概率为 0.01 , 未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为 0.05 . 目前情况下, 肝癌的致死率比较高, 肝癌发现得越早, 治疗越有效, 因此有人主张对该地区的居民进行普查, 以尽早发现肝癌患者. 这个主张是否合适?
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