日期: 2023-11-05 22:05 查看: 218 次编辑导出

乘法公式与全概率公式

由条件概率的计算公式 $P(B \mid A)=\frac{P(B A)}{P(A)}$ 可知,

$$
P(B A)=P(A) P(B \mid A),
$$

这就是说, 根据事件 $A$ 发生的概率, 以及已知事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$发生的概率, 可以求出 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率. 一般地, 这个结论称为乘法公式.

**例 1** 已知某品牌的手机从 $1 \mathrm{~m}$ 高的地方掉落时, 屏幕第一次未碎掉的概率为 0.5 , 当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为 0.3 . 试求这样的手机从 $1 \mathrm{~m}$ 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率.

解 $A_i$ 表示第 $i$ 次掉落手机屏幕没有碎掉, $i=1,2$, 则由已知可得 $P\left(A_1\right)=0.5, P\left(A_2 \mid A_1\right)=0.3$, 因此由乘法公式可得

$$
P\left(A_2 A_1\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2 \mid A_1\right)=0.5 \times 0.3=0.15 .
$$

即这样的手机从 $1 \mathrm{~m}$ 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为 0.15 .

**例 2** 在某次抽奖活动中, 在甲、乙两人先后进行抽奖前, 还有 50 张奖券, 其中共有 5 张写有 “中奖” 字样. 假设抽完的奖券不放回, 甲抽完之后乙再抽, 求:
(1) 甲中奖而且乙也中奖的概率;
(2) 甲没中奖而且乙中奖的概率.
解 $A$ 表示甲中奖, $B$ 表示乙中奖, 则

$$
P(A)=\frac{5}{50}=\frac{1}{10} .
$$

(1) 因为抽完的奖券不放回, 所以甲中奖后乙抽奖时, 有 49 张奖券且其中只有 4 张写有 “中奖” 字样, 此时乙中奖的概率为 $P(B \mid A)=\frac{4}{49}$.
根据乘法公式可知, 甲中奖且乙也中奖的概率为

$$
\begin{aligned}
P(B A) & =P(A) P(B \mid A) \\
& =\frac{1}{10} \times \frac{4}{49}=\frac{2}{245} .
\end{aligned}
$$

(2) 因为 $P(A)+P(\bar{A})=1$, 所以

$$
P(\bar{A})=1-P({A})
$$

因为抽完的奖券不放回, 所以甲没中奖后乙抽奖时, 还有 49 张奖券且其中还有 5 张写有 “中奖” 字样, 此时乙中奖的概率为 $P(B \mid \bar{A})=$ ？
根据乘法公式可知, 甲没中奖而且乙中奖的概率为

$$
\begin{aligned}
P(B \bar{A}) & =P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}) \\
& =？
\end{aligned}
$$

由乘法公式有

$$
P(B A)=P(A) P(B \mid A), P(B \bar{A})=P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}),
$$

所以

$$
P(B)=P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}) .
$$

这称为全概率公式.

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