最后更新: 2025-04-12 10:10 查看: 381 次反馈刷题

随机事件的独立性

## 随机事件的独立性
在相同的条件下分别抛掷甲，乙两枚质地均匀的硬币。设 $A$ 表示＂甲正面朝上＂，$B$ 表示＂乙正面朝上＂，则 $A \cap B$ 表示＂甲，乙都正面朝上＂。分别计算事件 $A, B, A \cap B$ 的概率，你有何发现？

记 $H$ 表示正面朝上，$T$ 表示反面朝上，则该试验的样本空间为

$$
\Omega=\{H H, H T, T H, T T\}
$$

又事件 $A=\{H H, H T\}, B=\{H H, T H\}, A \cap B=\{H H\}$ ，
因此 $P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{2}, P(A \cap B)=\frac{1}{4}$ ．
这时可以发现 $P(A \cap B)=P(A) P(B)$ ．
在概率论中，设 $A, B$ 为两个事件，若 $P(A \cap B)=P(A) P(B)$ ，则称事件 $A, B$相互独立，简称为独立。

由独立事件的定义可知，必然事件 $\Omega$ 及不可能事件 $\varnothing$ 都与任何事件独立．

`例` 一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设

$$
\begin{aligned}
& A=\text { "一个家庭中既有男孩又有女孩", } \\
& B=\text { "一个家庭中最多有一个女孩", }
\end{aligned}
$$

对下述两种情形，讨论事件 $A$ 与 $B$ 的独立性：

（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩。
解（1）有两个小孩的家庭，样本空间

$$
\Omega=\{(\text { 男, 男), (男, 女), (女, 男), (女, 女) }\} \text {, }
$$

它有 4 个基本事件，由等可能性知概率各为 $\frac{1}{4}$ ，这时

$$
\begin{aligned}
& A=\{\text { (男, 女), (女, 男) }\}, \\
& B=\{\text { (男, 男), (男, 女), (女, 男) }\}, \\
& A \cap B=\{\text { (男, 女), (女, 男) }\} .
\end{aligned}
$$

于是

$$
P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{3}{4}, P(A \cap B)=\frac{1}{2}
$$

由此可知

$$
P(A \cap B) \neq P(A) P(B)
$$

所以事件 $A, B$ 不独立．
（2）有三个小孩的家庭，样本空间
$\Omega=\{$（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），女，男，女），女，女，男），女，女，女）$\}$ 。

由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 $\frac{1}{8}$ ，这时 $A$ 含有 6 个基本事件，$B$ 含有 4 个基本事件，$A \cap B$ 含有 3 个基本事件，

于是

$$
P(A)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}, P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \quad P(A \cap B)=\frac{3}{8} .
$$

显然有

$$
P(A \cap B)=\frac{3}{8}=P(A) P(B)
$$

成立，从而事件 $A$ 与 $B$ 是独立的．

例1说明两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究后才能得出正确结论。

根据定义，若事件 $A, B$ 独立，则计算 $P(A \cap B)$ 的公式为

$$
P(A \cap B)=P(A) P(B)
$$

根据以上公式，可以得到：
若事件 $A, B$ 独立，则 $A$ 与 $\bar{B}, \bar{A}$ 与 $B, \bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也独立．

下面只证明若事件 $A, B$ 独立，则事件 $A$ 与 $\bar{B}$ 独立，其他类似可以证明．
因为 $A=A \cap \Omega=A \cap(B \cup \bar{B})=A B \cup A \bar{B}$ ，
于是 $P(A)=P(A B \cup A \bar{B})$ ，而 $A B$ 与 $A \bar{B}$ 互斥，
因此 $P(A)=P(A B)+P(A \bar{B})$ ．
故 $P(A \bar{B})=P(A)-P(A B)=P(A)-P(A) P(B)$

$$
=P(A)[1-P(B)]=P(A) P(\bar{B})
$$

所以 $P(A \cap \bar{B})=P(A) P(\bar{B})$ ，也就是说事件 $A, \bar{B}$ 也独立．

虽然两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究，经过计算后才能得出正确结论，但在实际应用时，如果根据问题的实际背景，可以判断出事件 $A$是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响，或者事件 $B$ 是否发生对事件 $A$ 发生的概率

也没有影响，那就可以说事件 $A, B$ 独立，从而运用事件独立的概念进行推导和计算。

> 随机事件独立性是概率论里重要特征，可以进一步发散思维，例如抽取一批产品质量是否合格，第一次抽取和第二次抽取必须不影响，就可以认为他们也是独立的

`例` 甲，乙两人练习射击，甲命中的概率为 0.8 ，乙命中的概率为 0.7 ，两人同时射击，且中靶与否独立，求：
（1）甲或乙命中的概率；
（2）甲中，乙不中的概率；
（3）甲不中，乙中的概率．
解 设 $A=$＂甲命中＂，$B=$＂乙命中＂，则 $A \cup B=$＂甲或乙命中＂，$A \cap \bar{B}=$ ＂甲中，乙不中＂， $\bar{A} \cap B=$＂甲不中，乙中＂，且

$$
P(A)=0.8, \quad P(B)=0.7
$$

（1）

$$
\begin{aligned}
P(A \cup B) & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\
& =P(A)+P(B)-P(A) P(B) \\
& =0.94
\end{aligned}
$$

（2）$P(A \cap \bar{B})=P(A) P(\bar{B})=0.8 \times 0.3=0.24$ ．
（3）$P(\bar{A} \cap B)=P(\bar{A}) P(B)=0.2 \times 0.7=0.14$ ．

`例` 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是 0.7 和 0.6 ，两人各投一次，假设事件＂甲命中＂与＂乙命中＂是独立的。求至少一人命中的概率。

解 设 $A$ 表示事件＂甲命中＂，$B$ 表示事件＂乙命中＂，则 $A \cup B$ 表示＂至少一人命中＂，它的对立事件是＂两人都没命中＂，即 $\bar{A} \cap \bar{B}$ 。由 $A$ 与 $B$ 独立，利用例 2 的结论推出 $A$ 与 $\bar{B}$ 独立，再推出 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 独立，最后应用概率性质 1 ，就得到

$$
\begin{aligned}
P(A \cup B) & =1-P(\bar{A} \cap \bar{B}) \\
& =1-P(\bar{A}) P(\bar{B}) \\
& =1-(1-P(A))(1-P(B)) \\
& =1-0.3 \times 0.1 \\
& =0.88
\end{aligned}
$$

因此，至少一人命中的概率是 0.88 ．

`例` 两个人比赛，对于弱者（赢的概率较小者）来说，一局定胜负和三局两胜比较，哪个更有利？（这里所说的＂三局两胜＂是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束）

解 设 $A, ~ B$ 两人比赛，$A$ 是弱者，每一局赢的概率 $p<\frac{1}{2}$ ．现在计算在三局两胜的规则下，$A$ 最终获胜的概率．
在三局两胜的比赛中，按照规则，事件＂$A$ 最终胜＂包含下列三种情况：

$$
A A, A B A, B A A
$$

其中，$A B A$ 按顺序表示第一，二，三局中赢的一方，其余同理。由独立性，这三种情况的概率分别为

$$
p^2, p^2(1-p), p^2(1-p)
$$

利用概率性质 3 （可加性），推出 $A$ 最终胜的概率是 $p^2+2 p^2(1-p)$ ．
最后比较 $p$ 与 $p^2+2 p^2(1-p)$ 哪个大．容易得到

$$
p^2+2 p^2(1-p)=p^2(3-2 p)=p\left(3 p-2 p^2\right)
$$

因为 $y=3 p-2 p^2$ 是一个二次函数，它在 $\frac{3}{4}$ 处达到最大，在 $p<\frac{3}{4}$ 时严格增，而当 $p=\frac{1}{2}$ 时其值为 1 ，所以 $3 p-2 p^2$ 在 $0<p<\frac{1}{2}$ 时恒小于 1 ，因此

$$
p^2+2 p^2(1-p) < p
$$

这说明对于弱者来说，一局定胜负比三局两胜更有利．

`例`  $  A, ~ B$ 两人下棋，每局两人获胜的可能性一样．某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得 100 元奖金。第一局比赛 $A$ 胜，后因为有其他要事而中止比赛。问：怎么分 100 元奖金才公平？

这里首先涉及的问题是怎么分才是公平的方法。帕斯卡和费马均认为应该依（在现有的状态下）两人最终胜的可能性大小按比例来分。这样问题就归结于计算两人各自最终胜的概率。在计算这个概率时，我们需要两个＂隐藏的＂假设：（1）每局两人等可能取胜；（2）各局的胜负之间是独立的．
解 现在 $A$ 已胜一局，设 $A$ 表示事件＂$A$ 最终胜＂；$A_1$ 表示事件＂接下去第一局 $A$ 胜＂；$A_2$ 表示事件＂接下去第二局 $A$ 胜＂。因为 $A$ 已胜一局，由三局两胜的规则，$A$ 最终胜当且仅当 $A$ 再胜一局，即 $A_1$ 发生，或者 $A$ 输一局后接着胜一局，即 $\bar{A}_1 \cap A_2$发生．换言之，

$$
A=A_1 \cup\left(\bar{A}_1 \cap A_2\right)
$$

因为第一局与第二局是独立的，所以 $A_1$ 与 $A_2$ 独立．再由上例推出 $\bar{A}_1$ 与 $A_2$ 独立，从而

$$
P(A)=P\left(A_1\right)+P\left(\bar{A}_1 \cap A_2\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{4},
$$

而 $B$ 最终胜的概率是 $\frac{1}{4}$ ，因此 $A, ~ B$ 两人应该按 $3: 1$ 来分奖金．

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