最后更新: 2025-05-26 10:04 查看: 418 次反馈同步训练

事件的独立性

## 事件的独立性
事件的独立性是指两个事件彼此不互相影响。比如甲、乙两人独立地破解同一个谜语，因为是独立破解的，所以甲能否破解不影响乙的破解结果，反之，乙能否破解也不影响甲的破解结果。

再如一个设备的使用次数和使用寿命，正常情况下，使用次数多，使用寿命就降低，使用次数少，设备寿命就厂，此时 使用的次数和寿命就不是独立的，而是有关联的。

`例` 一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设

$$
\begin{aligned}
& A=\text { "一个家庭中既有男孩又有女孩", } \\
& B=\text { "一个家庭中最多有一个女孩", }
\end{aligned}
$$

对下述两种情形，讨论事件 $A$ 与 $B$ 的独立性：

（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩。
解（1）有两个小孩的家庭，样本空间

$$
\Omega=\{(\text { 男, 男), (男, 女), (女, 男), (女, 女) }\} \text {, }
$$

它有 4 个基本事件，由等可能性知概率各为 $\frac{1}{4}$ ，这时

$$
\begin{aligned}
& A=\{\text { (男, 女), (女, 男) }\}, \\
& B=\{\text { (男, 男), (男, 女), (女, 男) }\}, \\
& A \cap B=\{\text { (男, 女), (女, 男) }\} .
\end{aligned}
$$

于是

$$
P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{3}{4}, P(A \cap B)=\frac{1}{2}
$$

由此可知

$$
P(A \cap B) \neq P(A) P(B)
$$

所以事件 $A, B$ 不独立．
（2）有三个小孩的家庭，样本空间
$\Omega=\{$（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），女，男，女），女，女，男），女，女，女）$\}$ 。

由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 $\frac{1}{8}$ ，这时 $A$ 含有 6 个基本事件，$B$ 含有 4 个基本事件，$A \cap B$ 含有 3 个基本事件，

于是

$$
P(A)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}, P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \quad P(A \cap B)=\frac{3}{8} .
$$

显然有

$$
P(A \cap B)=\frac{3}{8}=P(A) P(B)
$$

成立，从而事件 $A$ 与 $B$ 是独立的．

## 事件独立

例1说明两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究后才能得出正确结论。

> 根据定义，若事件 $A, B$ 独立，则有为$ P(A \cap B)=P(A) P(B) $

反之
> 若有$ P(A \cap B)=P(A) P(B) $ ,则事件  $A, B$ 独立

根据以上公式，可以得到：
若事件 $A, B$ 独立，则 $A$ 与 $\bar{B}, \bar{A}$ 与 $B, \bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也独立．

下面只证明若事件 $A, B$ 独立，则事件 $A$ 与 $\bar{B}$ 独立，其他类似可以证明．
因为 $A=A \cap \Omega=A \cap(B \cup \bar{B})=A B \cup A \bar{B}$ ，
于是 $P(A)=P(A B \cup A \bar{B})$ ，而 $A B$ 与 $A \bar{B}$ 互斥，
因此 $P(A)=P(A B)+P(A \bar{B})$ ．
故 $P(A \bar{B})=P(A)-P(A B)=P(A)-P(A) P(B)$

$$
=P(A)[1-P(B)]=P(A) P(\bar{B})
$$

所以 $P(A \cap \bar{B})=P(A) P(\bar{B})$ ，也就是说事件 $A, \bar{B}$ 也独立．

虽然两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究，经过计算后才能得出正确结论，但在实际应用时，如果根据问题的实际背景，可以判断出事件 $A$是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响，或者事件 $B$ 是否发生对事件 $A$ 发生的概率

也没有影响，那就可以说事件 $A, B$ 独立，从而运用事件独立的概念进行推导和计算。

`例` 甲，乙两人练习射击，甲命中的概率为 0.8 ，乙命中的概率为 0.7 ，两人同时射击，且中靶与否独立，求：
（1）甲或乙命中的概率；
（2）甲中，乙不中的概率；
（3）甲不中，乙中的概率．
解 设 $A=$＂甲命中＂，$B=$＂乙命中＂，则 $A \cup B=$＂甲或乙命中＂，$A \cap \bar{B}=$ ＂甲中，乙不中＂， $\bar{A} \cap B=$＂甲不中，乙中＂，且

$$
P(A)=0.8, \quad P(B)=0.7
$$

（1）

$$
\begin{aligned}
P(A \cup B) & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\
& =P(A)+P(B)-P(A) P(B) \\
& =0.94
\end{aligned}
$$

（2）$P(A \cap \bar{B})=P(A) P(\bar{B})=0.8 \times 0.3=0.24$ ．
（3）$P(\bar{A} \cap B)=P(\bar{A}) P(B)=0.2 \times 0.7=0.14$ ．

`例` 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是 0.7 和 0.6 ，两人各投一次，假设事件＂甲命中＂与＂乙命中＂是独立的。求至少一人命中的概率。

解 设 $A$ 表示事件＂甲命中＂，$B$ 表示事件＂乙命中＂，则 $A \cup B$ 表示＂至少一人命中＂，它的对立事件是＂两人都没命中＂，即 $\bar{A} \cap \bar{B}$ 。由 $A$ 与 $B$ 独立，利用例 2 的结论推出 $A$ 与 $\bar{B}$ 独立，再推出 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 独立，最后应用概率性质 1 ，就得到

$$
\begin{aligned}

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