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分部积分法
日期:
2022-12-29 19:10
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分部积分法是针对解决某些被积函数是两类不同函数乘积的不定积分, 它 是由两个函数的乘积的微分运算法则推得的一种求积分的基本方法. 若 $u=u(x), v=v(x)$ 具有连续导数, 则 $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$, 即 $u v^{\prime}=(u v)^{\prime}-u^{\prime} v$. 两 边积分, 得 $\int u v^{\prime} \mathrm{d} x=\int(u v)^{\prime} \mathrm{d} x-\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x$, 即 $\int u v^{\prime} \mathrm{d} x=u v-\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x$. 也可写作 $$ \int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u $$ 例 22 求下列积分 (1) $\int x \cos x \mathrm{~d} x$; 解 本题没有基本积分公式可以直接套用, 两类换元法也无能为力. 本题特 点是被积函数为幂函数和三角函数这两类函数的乘积, 可用分部积分法求解. 取 $u=x, \mathrm{~d} v=\cos x \mathrm{~d} x$ ． $$ \int x \cos x \mathrm{~d} x=\int x \mathrm{~d} \sin x=x \sin x-\int \sin x \mathrm{~d} x=x \sin x+\cos x+C \text {. } $$ 例 22 求下列积分 (1) $\int x \cos x \mathrm{~d} x$; 注 分部积分法的关键是正确选择 $u$ 和 $\mathrm{d} v$, 并最终使积分 $\int v \mathrm{~d} u$ 能够求得. 本 例若改变 $u$ 和 $\mathrm{d} v$ 的选择,设 $u=\cos x$, 而 $\mathrm{d} v=x \mathrm{~d} x=\mathrm{d}\left(\frac{x^2}{2}\right)$, 则 $$ \int x \cos x \mathrm{~d} x=\int \cos x \mathrm{~d}\left(\frac{1}{2} x^2\right)=\frac{1}{2} x^2 \cos x-\int \frac{1}{2} x^2(-\sin x) \mathrm{d} x, $$ 等式右端的积分结果反而比原积分更复杂. 例 22 求下列积分 (2) $\int x^2 e^x d x$ 取 $u=x^2, \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$. $$ \begin{aligned} \int x^2 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\int x^2 \mathrm{de}^x & =x^2 \mathrm{e}^x-\int \mathrm{e}^x \cdot 2 x \mathrm{~d} x=x^2 \mathrm{e}^2-2 \int x \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x \\ & \left.=x^2 \mathrm{e}^2-2 \int x \mathrm{de}^x \text { (再一次分部积分,取 } u=x, \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^x \mathrm{~d} x\right) \\ & =x^2 \mathrm{e}^x-2\left(x \mathrm{e}^x-\int \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x\right) \\ & =x^2 \mathrm{e}^x-2 x \mathrm{e}^x+2 \mathrm{e}^x+C . \end{aligned} $$ 注 从此例可知, 通常总是把三角函数和指数函数选作 $u$, 幂函数选作 $v^{\prime}$. 如果 需要,可以多次使用分部积分法. 例 23 求 (1) $\int \ln x \mathrm{~d} x$; 解 取 $u=\ln x, \mathrm{~d} v=\mathrm{d} x$, $$ \int \ln x \mathrm{~d} x=x \ln x-\int x \mathrm{~d} \ln x=x \ln x-\int x \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=x \ln x-x+C . $$ 例 23 求 (2) $\int x^3 \ln x \mathrm{~d} x$. 解 取 $u=\ln x, \mathrm{~d} v=x^3 \mathrm{~d} x$ ， $$ \begin{aligned} \int x^3 \ln x \mathrm{~d} x & =\frac{1}{4} \int \ln x \mathrm{~d}\left(x^4\right)=\frac{1}{4}\left(x^4 \ln x-\int x^4 \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~d} x\right) \\ & =\frac{1}{4} x^4 \ln x-\frac{1}{4} \int x^3 \mathrm{~d} x \\ & =\frac{1}{4} x^4 \ln x-\frac{1}{16} x^4+C . \end{aligned} $$ 例 24 求 (1) $\int \arcsin x \mathrm{~d} x$; 解 取 $u=\arcsin x, \mathrm{~d} v=\mathrm{d} x$, $$ \begin{aligned} \int \arcsin x \mathrm{~d} x & =x \arcsin x-\int x \mathrm{~d}(\arcsin x) \\ & =x \arcsin x-\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x \\ & =x \arcsin x+\int \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d}\left(1-x^2\right) \\ & =x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C . \end{aligned} $$ 例 24 求 (2) $\int x \arctan x \mathrm{~d} x$. 取 $u=\arctan$ $$ \begin{aligned} & x, \mathrm{~d} v=x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \mathrm{~d}\left(x^2+1\right), \\ & \int x \arctan x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \arctan x \mathrm{~d}\left(x^2+1\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(x^2+1\right) \arctan x-\frac{1}{2} \int\left(x^2+1\right) \mathrm{d}(\arctan x) \\ &=\frac{1}{2}\left(x^2+1\right) \arctan x-\frac{1}{2} \int\left(x^2+1\right) \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d} x \\ &=\frac{1}{2}\left(x^2+1\right) \arctan x-\frac{1}{2} x+C . \end{aligned} $$ 注 从上两例可知, 通常总是把对数函数和反三角函数选作 $u$, 幂函数选作 $v^{\prime}$. 例 25 求 $\int \mathrm{e}^x \sin x \mathrm{~d} x$. $$ \text { 解 } \begin{aligned} \int \mathrm{e}^x \sin x \mathrm{~d} x & =\int \sin x \mathrm{de}^x=\mathrm{e}^x \sin x-\int \mathrm{e}^x \mathrm{~d}(\sin x) \\ & =\mathrm{e}^x \sin x-\int \mathrm{e}^x \cos x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^x \sin x-\int \cos x \mathrm{de}^x \\ & =\mathrm{e}^x \sin x-\left(\mathrm{e}^x \cos x-\int \mathrm{e}^x \mathrm{~d}(\cos x)\right) \\ & =\mathrm{e}^x \sin x-\mathrm{e}^x \cos x-\int \mathrm{e}^x \sin x \mathrm{~d} x \end{aligned} $$ 将上式右端的 $\int \mathrm{e}^x \sin x \mathrm{~d} x$ 移到等号的左端来, 得 $$ 2 \int \mathrm{e}^x \sin x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^x(\sin x-\cos x), $$ 故 $\quad \int \mathrm{e}^x \sin x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \mathrm{e}^x(\sin x-\cos x)+C$. 例 25 求 $\int \mathrm{e}^x \sin x \mathrm{~d} x$. 注 两次分部积分后, 又回到原来的积分, 且两式系数不同, 可移项得到 积分结果, 这是在分部积分中一种常用的技巧. 除了三角函数和指数函数乘积 的不定积分可以采取如此方法, 下面的题目也可以. *例 26 求(1) $\int \sec ^3 x \mathrm{~d} x$; 解 (1) $\int \sec ^3 x \mathrm{~d} x=\int \sec x \mathrm{~d} \tan x=\sec x \tan x-\int \tan x \cdot \sec x \tan x \mathrm{~d} x$ $$ \begin{aligned} & =\sec x \tan x-\int \sec x\left(\sec ^2 x-1\right) \mathrm{d} x \\ & =\sec x \tan x-\int \sec ^3 x \mathrm{~d} x+\int \sec x \mathrm{~d} x \\ & =\sec x \tan x+\ln |\sec x+\tan x|-\int \sec ^3 x \mathrm{~d} x . \end{aligned} $$ 所以将上式右端的 $\int \sec ^3 x \mathrm{~d} x$ 移到等号的左端来, 得 $$ \int \sec ^3 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}(\sec x \tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C \text {. } $$ *例 26 求 (2) $\int \cos (\ln x) \mathrm{d} x$. $$ \begin{aligned} \int \cos (\ln x) \mathrm{d} x & =x \cos (\ln x)-\int x \cdot\left(-\sin (\ln x) \cdot \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x \\ & =x \cos (\ln x)+\int \sin (\ln x) \mathrm{d} x \\ & =x \cos (\ln x)+x \sin (\ln x)-\int x \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~d} x, \end{aligned} $$ 因此 $\int \cos (\ln x) \mathrm{d} x=\frac{x}{2}(\cos (\ln x)+\sin (\ln x))+C$. 在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分法. 例 27 求 $\int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$. 解 作 $t=\sqrt{x}$, 则 $x=t^2, \mathrm{~d} x=2 t \mathrm{~d} t$, 故 $$ \int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=2 \int t \mathrm{e}^t \mathrm{~d} t=2 \mathrm{e}^t(t-1)+C=2 \mathrm{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+C . $$ 例 28 求不定积分 $\int \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$. 解 令 $t=\sqrt{x}$, 则 $x=t^2$, $$ \begin{aligned} \int \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x & =\int \ln (1+t) \mathrm{d} t^2=t^2 \ln (1+t)-\int t^2 \mathrm{~d} \ln (1+t) \\ & =t^2 \ln (1+t)-\int \frac{t^2}{1+t} \mathrm{~d} t \\ & =t^2 \ln (1+t)-\int(t-1) \mathrm{d} t-\int \frac{\mathrm{d} t}{1+t} \\ & =t^2 \ln (1+t)-\frac{t^2}{2}+t-\ln (1+t)+C \\ & =(x-1) \ln (1+\sqrt{x})+\sqrt{x}-\frac{x}{2}+C . \end{aligned} $$
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