定积分在物理上的应用举例

日期: 2022-12-30 10:48 查看: 60 次

本小节内容供对物理知识要求较高的专业选学.
定积分在物理上的应用相当广泛, 如求具有均匀质量分布的平面曲线和平 面图形的重心, 变速直线运动物体在某时间区间内经过的距离, 物体的转动惯 量和变力做功等. 下面通过实例加以说明.
本节仅介绍应用定积分来计算变力做功和水压力.
1、变力沿直线所作的功
例 19 设 $40 \mathrm{~N}$ 的力使弹簧从自然长度 $10 \mathrm{~cm}$ 拉长成 $15 \mathrm{~cm}$, 问需要作多大的功 才能克服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从 $15 \mathrm{~cm}$ 处再拉长 $3 \mathrm{~cm}$ ?
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解 取弹簧的平衡点作为原点建立坐标系，如图 3-51 所示.
由物理学知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 $F(x)$ 与伸长量 $x$ 成正比，即 $F(x)=k x$, 其中 $k$ 为比例系数. 当弹簧从 $10 \mathrm{~cm}$ 拉长到 $15 \mathrm{~cm}$ 时, 它伸长量为 $5 \mathrm{~cm}$ $=0.05 \mathrm{~m}$.

1、变力沿直线所作的功
例 19 设 $40 \mathrm{~N}$ 的力使弹簧从自然长度 $10 \mathrm{~cm}$ 拉长成 $15 \mathrm{~cm}$, 问需要作多大的功 才能克服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从 $15 \mathrm{~cm}$ 处再拉长 $3 \mathrm{~cm}$ ?
因有 $F(0.05)=40$, 即 $0.05 k=40$, 故得 $k=800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$. 于是可写出 $F(x)=800 x$. 弹簧从 $15 \mathrm{~cm}$ 拉长到 $18 \mathrm{~cm}$ 厘米，即变化区间为 $[0.05,0.08]$.
由于拉力随着伸长量的变化而不断变化, 所以拉力所做的功不能直接用“力 ×位移”来计算. 也就是说, 压力在区间上分布是不均匀的. 把伸缩区间进行分割 分割成许多小区间.由于小区间上点的距离非常近, 我们认为在每个小区间上的 弹簧拉力近似相等, 就可以用恒力做功的计算公式算出拉力对在每个小区上所 做功的近似值. 并且拉力所做功关于区间具有可加性, 因此拉力所做的功可以 用定积分来计算, 就得到整个区间上拉力所做的功.

1、变力沿直线所作的功
例 19 设 $40 \mathrm{~N}$ 的力使弹簧从自然长度 $10 \mathrm{~cm}$ 拉长成 $15 \mathrm{~cm}$, 问需要作多大的功 才能克服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从 $15 \mathrm{~cm}$ 处再拉长 $3 \mathrm{~cm}$ ?
在积分区间 $[0.05,0.08]$ 中任取 $x$ ，做微元区间 $[x, x+\Delta x]$ ，在微元区间上拉力 所作的功即为功的微元

$$
\mathrm{d} W=F(x) \mathrm{d} x=800 x \mathrm{~d} x ，
$$

于是拉力使弹簧拉长 $3 \mathrm{~cm}=0.03 \mathrm{~m}$ 所做的功为

$$
W=\int_{0.05}^{0.08} 800 x d x=\left.400 x^2\right|_{0.05} ^{0.08}=400(0.064-0.025)=1.56 \mathrm{~J}
$$

例 20 设有一直径为 $20 \mathrm{~m}$ 的半球形水池, 池内欦满水, 若要把水抽尽, 问至少作多少功.
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解 如图 3-52 建立直角坐标系，池壁与 面的交线为半圆周 $x^2+y^2=100(x \geq 0)$, 选取 $x$ 为积分变量， $x \in[0,10]$ 区间，与微元区间 $[x, x+\mathrm{d} x]$ 对应的是厚度为 $\mathrm{d} x$ 的一层水，微元 上的这层水的体积

$$
\Delta V \approx \pi y^2 \Delta x=\pi\left(100-x^2\right) \Delta x\left(m^3\right),
$$

其所受的重力为 $\mathrm{d} F \approx \rho g \mathrm{~d} V=g \pi \rho x\left(100-x^2\right) \mathrm{d} x(k N)$.
把这层水抽出，至少需要提升 $x(m)$ 距离. 故需作的功为

$$
\Delta W \approx g \rho \pi\left(100-x^2\right) \Delta x \cdot x=g \pi \rho x\left(100-x^2\right) \Delta x \mathrm{~J},
$$

其中 $\rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ 是水的密度， $g=9.8 / \mathrm{s}^2$ 是重力加速度. 故作功微元

$$
\mathrm{d} W=g \pi \rho x\left(100-x^2\right) \mathrm{d} x .
$$

所求功为

$$
\begin{aligned}
W & =\int_0^{10} g \pi \rho x\left(100-x^2\right) \mathrm{d} x=g \pi \rho \int_0^{10} x\left(100-x^2\right) \mathrm{d} x=g \frac{\pi \rho}{4} \times 10^4 \\
& =2500 \pi \rho g \approx 7.693 \times 10^7(J) .
\end{aligned}
$$

2、水压力
从物理学知识可以知道，在水深为 $h$ 处的压强为 $p=v h$ ( $v$ 是水的比重). 如 果有一面积为 $A$ 的平板水平地放置在水深为 $h$ 处，则平板一侧所受的水压力为 $F=p A$. 如果平板垂直地放置在水中，则由于水深不同的点的压强不同，则计算 平板的水压力需要使用定积分.

例 21 一个三角形薄板铅直地沉浸在水中，底在上且与水面相接, 底边长为 $a$ ， 高为 $h$ ，求薄板每侧所受的压力 (设水的比重为 $v)$.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212303a0add2.png)

解 建立坐标系如图 3-53 所示，则三角形的
一条腰边的方程为 $\frac{2 y}{a}=\frac{h-x}{h}$ ，即 $y=\frac{a}{2 h}(h-x)$.
因为压强与水深成正比，同一深度的压强是 相同的，于是将闸门水平分割成小横条，取积分 变量为 $x ， x \in[0, h]$ ，任取 $[x, x+d x] \subset[0, h]$ ，闸门 上有高为 $\mathrm{d} x$ 的小条，其面积为

$$
2 y \mathrm{~d} x=a\left(1-\frac{x}{h}\right) \mathrm{d} x \text {, }
$$

例 21 一个三角形薄板铅直地沉浸在水中，底在上且与水面相接，底边长为 $a$ ， 高为 $h$ ，求薄板每侧所受的压力 (设水的比重为 $v$ ).
其上的压强近似等于 $v x$.
故其上所受的水压力

$$
\mathrm{d} F=2 v x y \mathrm{~d} x=\frac{v a}{h} x(h-x) \mathrm{d} x ，
$$

因此

$$
P=\frac{v a}{h} \int_0^h x(h-x) \mathrm{d} x=\frac{1}{6} v a h^2 .

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