最后更新: 2025-03-28 18:25 查看: 1946 次反馈同步训练

集合的概念

## 集合
具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的**元素**. 习惯上，用大写英文字母 $A, B, C, \cdots$ 表示集合， 用小写字母 $a, b, c, \cdots$ 表示集合的元素. $a \in A$ 表示 $a$ 是集 $A$ 的元素 (读作 $a$ 属于 $A$ )， $a \notin A$ 表示 $a$ 不是集 $A$ 的元素（读作 $a$ 不属 于 $A$ ). 集合按照元素的个数分为**有限集**和**无限集**，不含任何元素的 集合称为空集，记为 $\varnothing$.

我们把自然数的全体组成的集合称为**自然数集**，记作 $\mathrm{N}$. 由整数的全体构成的集合称**为整数集**，记为 $\mathrm{Z}$. 用 $\mathrm{Q}$ 表示全体有理数构成的**有理数集**， $\mathrm{R}$ 表示全体实数构成的实数集. 显然有 $\mathrm{N} \subset \mathrm{Z} \subset \mathrm{Q} \subset \mathrm{R}$. 由实数和虚数组成的集合为**复数集**，记做$\mathrm{C}$ ，除非特别声明，

如果是正整数集，则记为 $Z^{+}$，负整数集记为 $Z^{-}$，以此类推.
注：在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.

## 集合及其运算
集合的基本运算有四种: 并、交、差、补.
设 $A, B$ 是两个集合.
由同时包含于 $A$ 与 $B$ 的元素构成的集合 (见图 1-2)，称为 $A$ 与 $B$ 的交集（简称交），记作 $A \cap B$ ，即 $A \cap B=\{x \mid x \in A \text { 且 } x \in B\}$

由包含于 $A$ 或包含于 $B$ 的所有元素构成的集合（见图 1-3），称为 $A$ 与 $B$ 的并集（简称并），记作 $A \cup B$ ，即 $A \cup B=\{x \mid x \in A$ 或 $x \in B\}$

![图片](/uploads/2022-12/1d4447.jpg)

由包含于 $A$ 但不包含于 $B$ 的元素构成的集合 (见图 1-4)，称为 $A$ 与 $B$ 的差集 (简称差)，记作 $A \backslash B$ ，即 $A \backslash B=\{x \mid x \in A$ 且 $x \notin B\}$ ；
特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 $U$ ) 中进行，集合 $A$ 是 $U$ 的子集 (见图 1-5)，此时称 $U \backslash A$ 为 $A$ 的余集 (或补集)，记作 $C_U A$ 或 $A^C$.

![图片](/uploads/2022-12/1dfa76.jpg)

## 集合的性质
关于集合的余集，我们有如下性质.
**性质1** (对偶性质，德摩根定律) 设 $U$ 是一个基本集， $A, B$ 是它的两个子集，则
$  (A \cup B)^C=A^C \cap B^C$
$ (A \cap B)^C=A^C \cup B^C$

> 上述形式的通俗解释：例如全集$U$是所有整数，$A$是偶数集，$B$是大于5的整数集，那么$A\cap B$就是大于5的偶数集，其补集就是小于等于5的整数或者奇数集，这正好等于$A$的补集（奇数集）与$B$的补集（小于等于5的整数集）的并集。

除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积.

其他版本
【概率论与数理统计】随机事件之间的关系与运算【实变函数论】康托尔三分集【实变函数论】集合的交集与并集【数学分析】有限集与无限集【数学分析】上界与下界【数学分析】集合【高中数学】集合(高中)【实变函数论】集合的基数与映射【离散数学】集合的表示

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：本章思维导图

下一篇：区间

本文对您是否有用？有用 (4) 无用 (0)