曲面方程的概念

日期: 2022-12-30 18:42 查看: 66 次

本节介绍曲面及曲线方程概念，主要围绕下面两个基本问题：(1) 已知曲面曲线上点的几何特征，建立方程；(2) 已知曲线曲面上的点的 坐标所满足的方程，研究曲面曲线的形状和性质.我们着重介绍一些常见 的曲面曲线及其方程.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212301f050c2.png)
我们要研究的两个基本问题是:
（1）已知曲面作为点的轨迹时，建立这曲面的方程;
（2）已知一个三元方程，研究该方程所表示的几何图形，即曲面形状，着重介 绍一些常见的曲面.
先讨论第一个基本问题: 建立几种常见的曲面方程.
空间一动点到定点的距离为定值，该动点的轨迹称为球面，定点叫做球心， 定值叫做半径.
例 1 建立球心在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，半径为 $R$ 的球面的方程.
解 本题实质是求到定点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的距离为定长 $R$ 的点的轨迹方程，即 球面的方程.
设 $M(x, y, z)$ 是球面上任意一点，则有 $\left|\overrightarrow{M_0 M}\right|=R$ ，即

$$
\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2}=R
$$

或

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2=R^2 .
$$

例 2 求与原点 $O$ 及 $M_0(2,3,4)$ 的距离之比为 $1: 2$ 的点的全体所组成的曲面 方程.
解 设 $M(x, y, z)$ 是曲面上任一点，根据题意有 $\frac{|M O|}{\left|M M_0\right|}=\frac{1}{2}$,
即

$$
\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2}}=\frac{1}{2},
$$

所求方程为

$$
\left(x+\frac{2}{3}\right)^2+(y+1)^2+\left(z+\frac{4}{3}\right)^2=\frac{116}{9} .
$$

例 3 求到两定点 $A(1,2,3)$ 和 $B(2,-1,4)$ 等距离的点的几何轨迹.
解 设 $M(x, y, z)$ 是所要求的曲面上任意一点，则由题意

$$
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=(x-2)^2+(y+1)^2+(z-4)^2,
$$

化简得

$$
2 x-6 y+2 z-7=0 .
$$

由方程可知，这是一个平面.
以上是从已知曲面 (轨迹) 建立其方程，再看两个由已知方程研究它所表示 的曲面的例子.
例 4 方程 $x^2+y^2+z^2-2 x+4 y=0$ 表示什么样的曲面?
解 原方程可写成如下形式

$$
(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=5 \text { ， }
$$

可看出它表示球心在点 $M_0(1,-2,0)$ ， 半径 $R=\sqrt{5}$ 的球面.

例 5 方程 $z=(x-1)^2+(y-2)^2-1$ 的图形是怎样的?
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230afa7c66.png)
解 根据题意有 $z \geq-1$, 用平面 $z=c$ 去截图形得圆:

$$
(x-1)^2+(y-2)^2=1+c \quad(c \geq-1),
$$

当平面 $z=c$ 上下移动时，得到一系列圆，圆 心在 $(1,2, c)$, 半径为 $\sqrt{1+c}$,
半径随 $c$ 的增大而增大. 图形上不封顶，下封 底. 如图 5-46 所示.

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