最后更新: 2025-03-29 09:39 查看: 915 次反馈同步训练

函数的间断点

## 本章总结
对于一个函数$y=f(x)$, 从大的方面说他分为两种情况：
**情况一**$f(x)$ 连续，通俗的说就是可以一笔画出来。

**情况二**$f(x)$ 不连续，也就是断点，通俗理解就是一笔画不出来。对于不连续函数又分三种情况
①在 $x=x_0$ 没有定义；

②虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$  称为**第一类间断点**

③虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在，称为**第二类间断点**；
( $f\left(x_0^{+}\right) ， f\left(x_0^{-}\right)$之一不存在， 或两者存在但不相等)；

间断点分类参考下图，完整分类见 [思维导图](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2650) 
 
 ![图片](/uploads/2025-03/3551af.jpg)
 
 
 
 
## ①在 $x=x_0$ 没有定义

函数$y=f(x)$ 在 在 $x=x_0$ 没有定义，具体见下面例子。

`例`函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义，即知 $x=0$ 是它的间断点(见图1-56).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271454.png)

`例` 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x| & x \neq 0 \\ 1 & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处 $\lim _{x \rightarrow 0}|x|=0 \neq f(0)$ ，即知 $x=0$ 是它的间断点(见图1-57).

## ②第一类间断点
#### (1)可去间断点
(1) 若 $f\left(x_0^{+}\right) 、 f\left(x_0^{-}\right)$存在，并可以可通过补充或修改该点的函数值，使函数在该点处连续，称为**可去间断点**，见下面例子

`例` $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，
但 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ，因此 
若补充 $f(0)=1$ ， 则 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$
则在 $x=0$ 处连续. $f(x)$所以是可去间断点。

![图片](/uploads/2022-12/image_20221227daa4514.png)

#### (2)跳跃间断点
 如果 $f\left(x_0^{+}\right) \neq f\left(x_0^{-}\right)$，则称 $x=x_0$ 为函数
$f(x)$ 的**跳跃间断点**.

`例` 函数 $f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-9}{x-3}, & x>3, \\ x-1, & x \leq 3\end{cases}$
在 $x=3$ 处有定义， $f(3)=2$ ，

$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x^2-9}{x-3}=\lim _{x \rightarrow 3^{+}}(x+3)=6, \\
& \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{-}}(x-1)=2, \\
& f\left(3^{+}\right) \neq f\left(3^{-}\right),
\end{aligned}
$$

知 $x=3$ 为函数 $f(x)$ 的跃间断点(见图1-59）

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271456.png)

## 第二类间断点
若 $f\left(x_0^{+}\right) 、 f\left(x_0^{-}\right)$中至少有一个不存在，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点.

####  （1） 无穷间断点
如果 $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\infty$ 或 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\infty$ ，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的无穷间断点.

`例` $ f(x)=\tan x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处无定义，又 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan x=\infty

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