最后更新: 2025-03-29 15:23 查看: 404 次反馈刷题

光滑曲线与切线

我们首先来看几个函数的图像.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212274dc71ed.png)

大家会发现，在 $x=x_0$ 处它们都是连续的，但是前两个函数的图和后一个函数的图像相比， $x=x_0$ 处有“角点”或“尖点”出现（见图2-1、图2-2)，破坏了图形的美感和润滑度，而第三个函数相对来说 $x=x_0$ 处比较 “光滑" (见图2-3).

那么究竟是什么原因会使图形有这样的差别呢? 这就是这一章要研究的内容：后面将会知道，前面两个函数在 $x=x_0$ 处 "导数" 不存在，即不可导， 而第三个函数在 $x=x_0$ 处是 “可导" 的.

## 割线与切线
在中学数学中， 圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线” （见图2-4）

![图片](/uploads/2022-12/image_202212278991725.png)

但对于一般曲线， 这样定义是不合适的。例如，直线  $x=1$    与抛物线  $y=x^2$      只有一个交点（见图2-5）， 但显然不是实际意义下的切线.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221227a74db80.png)

下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义.

设曲线 $C: y=f(x) ， x \in I$ ，在曲线 $C$ 上取点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 及点 $N(x, y)$ ， 连接 $M N$ ，则 $M N$ 为过点 $M$ 的割线，割线的倾角为 $\varphi$ (见图2-6).
则割线 $M N$ 的斜率为

$$
\tan \varphi=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}=\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221227b5c7e21.png)

当 $N \rightarrow M$ ，即 $x \rightarrow x_0$ 时，如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限位置上的直线 $M T$ 称为曲线在 $M$ 点处的**切线**.
此刻切线的斜率即为
$$
\boxed{
k=\lim _{x \rightarrow x_0} \dfrac{y-y_0}{x-x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
}
$$

从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过程中， 需要用到极限思维，为此，引入了导数的概念
但是在进行导数介绍前，再次说一下光滑曲线和切线。
$$
f'(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212277fd7f6b.png)

## 光滑曲线与非光滑曲线
在整个高等数学里，基本上研究的都是“光滑曲线”，光滑曲线和非光滑曲线在极限思维上有本质区别，请参见下面一个例子(文章改编自[马同学图解数学CSDN博客](https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/104689290) 有改动)
这是美国小学课本上的一个例题：让学生猜测为什么$\pi=4$是错误的：

首先我们画一个直径为1的圆，再画出它的外切正方形，容易得到正方形的周长为4。
然后把正方形的四角都缩进去，容易看出正方形的周长还是4，经过不断重复划分。可以看到整个正方形已经非常“拟合”成了圆。
因此，一方面圆的周长是$\pi d= \pi$ ，一方面正方形的周长是$1 \times 4=4$ ，因为两者相等，所以得到$\pi=4$
 ![图片](/uploads/2025-01/ef2e9c.jpg)
这是一个明显错误的结论，那么错在哪里呢？

### 周长逼近
现在把上面问题复原一下，如下图，随着不断弯折，圆外多边形看上去越来越接近圆
 ![1.gif](/uploads/2025-01/74c8c6.gif)
 
 那为什么上面的结论是错误的呢？我们需要明白，在这个弯折过程中，圆外多边形的周长和面积发生了不同的改变：
圆外多边形的**周长**始终保持不变，并没有逼近圆的周长
圆外多边形的**面积**不断逼近圆的面积，所以看上去圆外的多边形看上去越来越接近圆

将圆的右上角放大，可见外接正方形的边无论折成多少个阶梯，只要恰当地平移这些阶梯，就可以还原出之前的正方形

![g.gif](/uploads/2025-01/5c3e7d.gif){width=350px}

也就是说，在弯折过程中，圆外多边形的周长始终为4：
  ![图片](/uploads/2025-01/2402fb.jpg)

更代数一点，可用数列 $a_n=\{4,4,4, \cdots, 4\}$ 来表示弯折过程中外面多边形的周长，很明显该数列的极限为：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=4
$$

这是一个常数数列，该数列的极限为 4 ，这说明弯折过程中圆外多边形的周长是没有发生变化的。

> 从这里可以得到第一个结论：在使用直线逼近弧线时，必须使用光滑的曲线，否则就会产生错误的结果。

#### 面积逼近
在看一下面积，一开始，外接正方形和圆形的面积大概相差 4 个直角三角形，也就是下图中蓝色的四个直角三角形。因为圆的直径为 1 ，所以容易推出这四个直角三角形的面积之和为 $4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ，也就是说外接正方形和圆形的面积大概相差 $\frac{1}{2}$ ：
 ![图片](/uploads/2025-01/f91598.jpg)

不断地弯折圆外多边形，可以算出这些直角三角形的和是在不断减小的，也就是圆外多边形和圆形的面积差在不断减小：
这说明**圆外多边形的面积在不断逼近圆形的面积**，如下图蓝色三角形面积之和越来越趋近于零，所以，多边形面积越来越趋近于圆。
 ![y.gif](/uploads/2025-01/74b403.gif)

**周长逼近和面积逼近的区别**
从上面可以看到，周长逼近是错误的，而面积逼近是正确的，之所以周长逼近得到错误的结论，是因为我们直觉上认为面积逼近的同时周长也会逼近。这个直觉是错误的，周长和面积并没有绝对的对应关系。

一个经典的例子是科赫雪花,像下面动图一样，从边长为$s$ 的等边三角形开始，可以生成类似于雪花的图像,被称为科赫雪花
 ![3.gif](/uploads/2025-01/69dc57.gif){width=200px}
 
 可以证明，科赫雪花的面积的极限为 $\frac{2 \sqrt{3}\left(s^2\right)}{5}$ ，但周长的极限为无穷大，

### 圆弧逼近
再看下面来看一个类似的问题，这个问题可以帮助我们思考得更深一些。同样是直径为1的圆，在它的圆周上画满相切的圆
  ![图片](/uploads/2025-01/7601fb.jpg){width=400px}
如果交替地取这些圆在圆周内的部分和圆周外的部分，就构成了一条缠绕着圆周的连续曲线
 ![图片](/uploads/2025-01/d68599.jpg){width=400px}
 
 上图中的曲线是由8个圆组成的，当然可以用更多的相切圆来构造该曲线。随着相切圆的增加，该曲线的周长会持续缩小，但是到一定程度后周长就不再缩小了：
  ![5.gif](/uploads/2025-01/0230f7.gif)
  
从结果看，使用圆弧逼近圆，$\pi$ 近似等于 4.94

> 从这里可以得到第二个结论：在使用曲线逼近弧线时，使用圆弧逼近曲线，也会产生错误。

那怎么才能计算出圆周率呢？答案就是切线。

### 切线逼近
在微积分中学习过，在一定的条件下，$x_0$ 点附近的曲线可以用切线来近似

![qiexian.gif](/uploads/2025-01/27ed93.gif){width=350px}

假如要计算曲线在 $[a,b]$ 之间的长度，可以把 $[a,b]$ 切成 $n$ 份，对应的曲线也被分成了 $n$ 份

![图片](/uploads/2025-01/ff02cd.jpg)
 
 因为切线是对曲线的近似，所以可用每个部分的切线段长度来近似每个部分的曲线段：
  ![图片](/uploads/2025-01/6dca3b.jpg)
  
  进一步细分$ [a,b]$ ，也就是让 $n$ 变得更大，可以看到近似的效果会越来越好：
   ![d.gif](/uploads/2025-01/d9b587.gif)
   
   当$n \to \infty$时，这些切线段的长度加起来就是曲线的长度。

回头来看一下，之前的例子是用折线或者曲线去逼近圆形的周长：
 ![图片](/uploads/2025-01/a2d566.jpg){width=400px}
 而不是用圆形的切线去逼近圆形的周长，这就是得出错误结论的原因。
 
 
 
 ### 为什么是切线
那为什么圆形的切线才能去逼近圆形的周长呢？ 这是因为可以证明，曲线的切线和曲线之间相差一个高阶无穷小，也就是下图标注的 
 ![图片](/uploads/2025-01/86a908.jpg){width=400px}
 在计算圆形周长的例子中，用来近似圆形周长的折线、曲线，它们只和圆形相差了一个无穷小。

## 进一步阅读：弧长的定义

> 数学分析上，曲线长度的定义，是所有从曲线中选取有限个点连起来的折线长度的上确界。这个定义的思路确实是用折线逼近曲线，但有一个要求：折线上的所有顶点必须都在曲线上。

关于空间中＂直的线段的长度＂，人类很早以前就开始研究了。早在两千多年前，欧几里得就在他的《几何原本》中指出＂线段是有长度的＂。而且，在更早的时候，人类就发现了勾股定理，这个定理给出了空间中不同线段之间长度的关系，它指出了直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。

然而，这些都是关于＂直的线段＂的研究。古典的几何学并没有很多关于＂曲线的长度＂的研究，也没能给＂曲线的长度＂下过很精确的定义。因此，我们需要借助微积分的手段，来给曲线的＂长度＂下一个定义。

我们知道，对于平面上两个点 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ ，它们两点连成的线段的长度，也就是他们的直线距离，我们可以定义为：$d=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}$ 。

**我们之所以这样定义，是因为只有这样定义才符合勾股定理**。

接下来，我们来看曲线。我们可以用黎曼积分 ，给一段函数对应的一段曲线的长度下一个定义。我们可以定义 $f(x)$ 在 $[ a , b ]$ 上曲线的长度为：$L=\int_a^b \sqrt{1+\left(f(x)^{\prime}\right)^2} d x$ 。
(其实长度的定义还应该拓展到参数方程上，也就是 $L=\int_a^b \sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2} d t$ )

通俗的讲，其实这个定义就是在＂用无穷多个小直角三角形的＂斜边＂长度之和逼近曲线的长度＂。然而，为什么我们可以用这个来定义长度呢？为什么我们不把曲线的长度定义为 $\int_a^b\left(1+f(x)^{\prime}\right) d x$ ，这样就可以用＂直角边＂来逼近呢？因为如果那样定义的话 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 之间直线段的长度就不再是会是 $\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}$ 了。总而言之，我们希望我们新定义的＂长度＂的概念符合我们原有的各种几何学规律。根据这个原则，我们才有了 $L=\int_a^b \sqrt{1+\left(f(x)^{\prime}\right)^2} d x$ 这个定义。

## 光滑曲线与高阶无穷小的舍去
现在再看一下曲线弧长，如下图，当计算弧长$\widehat{P_0 P}$时，使用了直角三角形斜边 $\sqrt{\Delta x^2 +\Delta y^2}$ 来替代他。

![图片](/uploads/2025-01/6e0c76.svg){width=400px}
 
 
数学上对光滑曲线的定义是： 设平面曲线 $C$ 的参数表示为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t)
\end{array} t \in[\alpha, \beta]\right.
$$

其中 $\varphi(t)$ 与 $\psi(t)$ 连续可导，且 $\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)>0, t \in[\alpha, \beta]$ ，这样的曲线称为**光滑曲线**，

显然这时曲线的长度$L$对于区间 $[\alpha, \beta]$ 可加．且对任意的 $t \in[\alpha, \beta]$ 与小区间 $[t, t+d t] \subset[\alpha, \beta]$ ，相应的弧长

$$
\Delta L \approx d L=\sqrt{(d x)^2+(d y)^2}=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} d t
$$

故由微分元素法可知：**我们定义曲线总长为**

$$
L=\int_\alpha^\beta \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} d t
$$

> 上面这种对弧长的定义最能满足我们实际生活感官的认知。

从本质上来说，你的定义方式决定了整个数学。一般来说，通常我们所指的圆都是指欧氏几何下的圆，因此，距离也应该使用欧氏几何下的距离公式。否则就会造成定义的不统一而导致结论的错误。这是因为，圆的定义是从距离定义中导出的，根据欧几里得的几何原本 ，圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

在欧式几何下，距离（或者向量长度）定义为平方和距离，即勾股定理 $s=\sqrt{x^2+y^2}$ ，因此从逼近的角度来考虑应该使用直角三角形的斜边长度逼近，而不是直角边的和作为逼近线段。

然而，由于圆是距离导出的几何图形，那么在距离定义改变的情况下，圆本身也会发生变化。比如当我们可以将距离定义为曼哈顿距离(如下图)：
 
  ![图片](/uploads/2025-01/64a1c4.svg)
 
曼哈顿距离得名于曼哈顿市区，曼哈顿市区的道路如棋盘—般横纵交错，那么从一点到另一点的最短路径，只能横向或者纵向移动，因此两点之间最短的距离为：$s=|x|+|y|$ 。
 ![图片](/uploads/2025-01/115bea.jpg){width=500px}

在曼哈顿距离下，从一个点移动到另—个点，只能横向或者纵向平移，那么最短距离自然是横坐标和纵坐标的差的和。一旦我们这么定义了距离，那我们重新来审视圆，那就完全不一样了。因为圆周是平面内到一定点等于定长的点的几何，如果我们在坐标系中表示出相应的 $x, y$ ，我们就会发现，这个圆其实是一个正菱形（正方形）。

但必须注意的是，一旦我们重新定义了距离，那么周长也将被重新定义。周长相当对于每一个线段的距离的和，而每一个线段的长度等于该线段两点的曼哈顿距离

也就是说，在改变了距离定义的情况下，我们将一个常规意义下的圆转换成了一个曼哈顿距离下的正方形。并且很显然，圆的周长 $d=2 \pi r$ ，并且 $\pi=4$ 。

定义决定性质，这就是本质所在。

再举一个小反例：在物理学中，早期人们对电流的认知并不准确，因此规定**正电荷定向移动方向为电流的方向**。后来发现，在金属导体中，电流是由电子运动形成的，因此电子移动的方向与电流方向相反，这导致整个物理中，对电流的判断都反的。但是整个物理大厦已经建立，只能叫错就错继续沿用下去。

因此，在整个高等数学里，使用切线逼近弧线是性质良好。关于曲线更详细介绍参考[弧微分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=313)

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