最后更新: 2025-03-30 10:43 查看: 627 次反馈同步训练

左右导数与不可导函数

## 引入
根据前面的讨论可以看出, 一个函数 $y=f(x)$ 在一点的导数, 从数量的角度去看, 就是因变量对自变量的变化率; 从图形上去看, 导数则是函数曲线在相应点处切线的斜率。

应当指出，并非所有函数在其定义域内都是可导的，也就是说，极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

未必总存在. 下面将会看到这样的例子。
我们还要指出，在导数定义中的极限是**双侧极限**。
若单侧极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0+} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

存在，则称之为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的**右导数**，记为 $f^{\prime}\left(x_0+0\right)$ 。

类似地，若单侧极限
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

存在, 则称之为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的**左导数**, 记为 $f^{\prime}\left(x_0-0\right)$.

显然，**函数在一点可导的充要条件是其左右导数都存在并相等**。

我们考虑函数 $y=|x|$ 。在 $x_0=0$ 点该函数右导数为

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0+0} \frac{|\Delta x|-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0+0} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1 ;
$$

而其左导数为

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0-0} \frac{\mid \Delta x\rfloor-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0-0} \frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1
$$

因此, 该函数在 0 点是不可导的。
后面我们还将给出左导数或右导数不存在的例子。
若在区间 $(a, b)$ 内每一点 $x$ 处函数 $f(x)$ 都可导，则称 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导。这时每一个 $x \in(a, b)$ 都对应一个导数值 $f^{\prime}(x)$ ，这样便定义出一个新的函数 $f^{\prime}(x)$, 它被称为 $f(x)$ 的**导函数**.

`例` 设 $f(x)=x(x+1)(x+2) \cdots(x+100)$ ，求 $f^{\prime}(-2)$

解：$f^{\prime}(-2)=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}$ ．因为 $f(-2)=\left.x(x+1) \cdots(x+100)\right|_{x=-2}=0$ ，所以 $f^{\prime}(-2)=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x(x+1) \cdots(x+100)}{x+2}=-2 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot 2 \cdots 98=2 \cdot 98!$ ．

## 左右导数的定义

若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
存在，则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右导数，记作 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ；
若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
存在，则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数，记作 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$.

因此，如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论:

**函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导的充要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左、右导数 存在且相等.**

现在，我们可回答函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导的原因:
在上一节[导数的定义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=283)里得到
$f_{+}^{\prime}(0)=1,f_{-}^{\prime}(0)=-1$
而
$$
f_{+}^{\prime}(0) \neq f_{-}^{\prime}(0)
$$
所以，该导数不存在。

> 从数字上看，导数存在是指他的导数值是唯一的；从几何看，导数存在是指图形没有尖角。

## 例题
`例` 已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin x & x<0 \\ x & x \geq 0\end{array}\right.$ ，求 $f_{+}^{\prime}(0), f_{-}^{\prime}(0)$ 及 $f^{\prime}(0)$.
解 $f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x}=1$,

$$
f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x}=1,
$$

故 $f^{\prime}(0)=1$.

`例` 函数 $f(x)=\left|x^2-1\right|$ 的导函数的定义域.
解: 函数 $f(x)=\left|x^2-1\right|$ 是一个到处连续的函数, 它的图象如图所示.
 
 ![图片](/uploads/2025-01/cb1999.jpg){width=400px}
 
 去掉函数式中的绝对值的符号, $f(x)$ 便可以写成分段函数式:

$$
f(x)= \begin{cases}x^2-1, & x \leq-1 \text { 或 } x \geq 1 \\ -\left(x^2-1\right), & -1 \leq x \leq 1\end{cases}
$$

所以

$$
f^{\prime}(x)= \begin{cases}2 x, & x<-1 \text { 或 } x>1 \\ -2 x, & -1<x<1\end{cases}
$$

但是当 $x=-1$ 和 1 时, 函数 $f(x)$ 的左导数和右导数不相等, 即此时导数不存在. 因为当 $x

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