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高等数学
第二章 一元函数微分学及其应用
左右导数
日期:
2023-10-01 11:28
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左右导数
下面我们来看 $y=|x|$ 点 $x=0$ 处的导数. $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|-|0|}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x} $$ 我们发现这个极限不存在,但是它的左极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x}{x}=-1$ 和右极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x}=1$ 都是存在的. 所以就像左、右连续的概念一样,我们需引入左、右导数的概念. 若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ 存在,则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右导数,记作 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ; 若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ 存在,则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数,记作 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$. 因此,如同左、右连续概念中的充要条件一样,我们有下列结论: 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导的充要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左、右导数 存在且相等. 现在,我们可回答函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导的原因: $$ f_{+}^{\prime}(0) \neq f_{-}^{\prime}(0) $$ 例8 已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin x & x<0 \\ x & x \geq 0\end{array}\right.$ ,求 $f_{+}^{\prime}(0), f_{-}^{\prime}(0)$ 及 $f^{\prime}(0)$. 解 $f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x}=1$, $$ f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x}=1, $$ 故 $f^{\prime}(0)=1$.
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