二重积分的性质

日期: 2022-12-31 13:14 查看: 87 次

二重积分有着和定积分相似的性质, 以下性质均假设被积函数在所在区域上 可积.
性质 $1 \iint_D[f(x, y)+g(x, y)] \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\iint_D g(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ；
性质 $2 \iint_D k f(x, y) \mathrm{d} \sigma=k \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \quad(k \in R)$ ；
性质 3 设 $D$ 由 $D_1 、 D_2$ 组成，则

$$
\iint_{D=D_1+D_2} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\iint_{D_2} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \text {; }
$$

性质 4 如果 $f(x, y) \equiv 1$ ，则有 $\iint_D 1 \mathrm{~d} x=\iint_D \mathrm{~d} x=D$ 的面积;
这个性质表明: 以 $D$ 为底、高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的 底面积.
性质 5 如果在区域 $D$ 上满足 $f(x, y) \leq g(x, y)$ ，则有 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leq \iint_D g(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ；
特别地，
有 $\left|\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma\right| \leq \iint_D|f(x, y)| \mathrm{d} \sigma$.
性质 6 设 $S_D$ 是区域 $D$ 的面积. 如果 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有最大值 $M$ 和最小值 $m$ ， 则有

$$
m S_D \leq \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leq M S_D ;
$$

这个不等式称为二重积分的估值不等式.
性质 7 (二重积分的中值定理) 如果 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则在 $D$ 上至少可以找到一点 $(\xi, \eta)$ ，使得

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) \cdot S_D .
$$

例 2 比较积分 $\iint_D \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ 与 $\iint_D[\ln (x+y)]^2 \mathrm{~d} \sigma$ 的大小，其中区域 $D$ 是三角 形闭区域，三顶点各为 $(1,0),(1,1),(2,0)$.
解 如图 7-6，三斜边方程 $x+y=2$, 在 $D$ 内有 $1 \leq x+y \leq 2<\mathrm{e}$, 故 $0 \leq \ln (x+y) \leq \ln 2<\ln \mathrm{e}<1$,
于是 $\ln (x+y)>[\ln (x+y)]^2$, 因此

$$
\iint_D \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma>\iint_D[\ln (x+y)]^2 \mathrm{~d} \sigma .

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231e8ad39b.png)
例 3 不作计算，估计 $I=\iint_D \mathrm{e}^{\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma$ 的值，其中 $D$ 是椭圆闭区域:

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \quad(0<b<a) .
$$

解 区域 $D$ 的面积 $\sigma=a b \pi$, 在 $D$ 上因为 $0 \leq x^2+y^2 \leq a^2$,

$$
\text { 所以 } 1=\mathrm{e}^0 \leq \mathrm{e}^{x^2+y^2} \leq \mathrm{e}^{a^2} \text {. }
$$

由性质 6 知 $\sigma \leq \iint_D \mathrm{e}^{\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma \leq \sigma \cdot \mathrm{e}^{a^2}$ ，
从而有 $a b \pi \leq \iint_D \mathrm{e}^{\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma \leq a b \pi \mathrm{e}^{a^2}$.

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