最后更新: 2025-03-29 16:31 查看: 583 次反馈刷题

求导公式

## 求导公式
$$(1) {C^{\prime}=0}$$
记忆方法：导数表示的是曲线的斜率，而常数是一个直线，斜率为0，自然求导为零。

$(2) {\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}} $
核心记忆一点，幂函数求导是**降幂**的，大家肯定都能记住
$(x^2)'=2x$, 他把二次降幂为一次，另外把这个2想象为$a$，进行类比记忆。

$(3) { \left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x} $
$(4) { \left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a } $
 
$e^x$求导是最简单的，地球人都能记住。 而（4）中$a=e$就是（3）,因此一定要利用(3)来记忆（4），即看到 $\left(a^x\right)^{\prime}$ 后，立刻写出右边的$a^x$ ，但是要$\ln a$ 再中和一下。（$\ln e=1$，所以$e^x$ 省略了）。

$ (5){(\sin x)^{\prime}=\cos x} $
$ (6){(\cos x)^{\prime}=-\sin x} $
这两个求导是最简答的，只要注意一下下面多一个负号即可。三角函数多使用谐音记忆， sin 发音类似“嫂”，cos发音类似“哥” ,上面可以音意记忆：嫂喜欢哥，哥哥是一个负心汉，哥负嫂 ^_^。

$(7) {(\tan x)^{\prime}=\sec ^2 x} $
tan 谐音为“贪”， sec 音意为“杀”，一个人贪污，杀一千次都不够，那就杀两次把，即 贪求导为杀杀

$(8) {(\cot x)^{\prime}=-\csc ^2 x }$
cot 谐音为“可贪？不贪！”， csc 音意为“可杀？不杀”，不贪污，就不杀不杀，但是注意多了一个负号。

$(9) {(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x}$
sec 音意为“杀”,杀的导数是“杀贪”

$(10) {(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x }$
csc 音意为“不杀”,不杀的导数是“不杀不贪”，外加一个负号。

**在三角函数求导里，以“c”开头，都会有负号。而且(7)~(10)里$x$都是2次的，这个大方向不能记错。**

$ (11) { (\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x}} $  
 $(12)  {\left(\log _a x\right)^{\prime}=\dfrac{1}{x \ln a}} $
 上面两个公式，(11)大家都能记住，请使用(11)协助记忆（12），要知道（12）中$a=e$就是1. （12）记忆方法：把log音译为地“牢”，牢通常都在地下，所以直接放在分母上。

$ (13) {(\arcsin x)^{\prime}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} }$

$ (14) {  (\arccos x)^{\prime}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}  $
 
 对于反三句话函数，可以利用单位圆，即斜边比临边，上面说了，见到余弦就加负号。见到正余弦，右侧都是一次的。（这里x平方后又开方）

![图片](/uploads/2024-10/fd8786.jpg){width=400px}

$(15) (\arctan x)^{\prime}=\dfrac{1}{1+x^2}   $           
$(16) (\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\dfrac{1}{1+x^2}$
反正切和余切，也是用单位圆，见到正余切，右侧都是两次的。（这里x平方）
 ![图片](/uploads/2024-10/333bc7.jpg){width=380px}

下面的考试不考。
$ (\operatorname{sh} x)=\operatorname{ch} x    $
             
 $ (\operatorname{ch} x)=\operatorname{sh} x    $
    $ (\operatorname{th} x)= \dfrac{1}{\operatorname{ch}^2 x}    $
             
 $ ( arsh  x)= \dfrac{1}{ \sqrt{1+x^2}}    $
   $ ( arch  x)= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-1}}    $
   $ ( arth  x)= \dfrac{1}{ \sqrt{1-x^2}}    $
             
 注：双曲正弦 $sh x= \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
 双曲正弦 $ch x= \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$
 双曲正切 $th x= \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

若 $u 、 v$ 可导，则

$$
(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime} ; \quad(u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} \cdot v+u \cdot v^{\prime} \quad ; \quad\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} \cdot v-u \cdot v^{\prime}}{v^2}(v \neq 0) .
$$

`例` 求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0<x \leq 1 \\ x^2+1, & 1<x<2\end{array}\right.$ 的导数.
解 求分段函数的导数时，在每一区间段内的导数可按一般求导法则计算， 但在分段要用左、右导数的定义求之.
当 $0<x<1$ 时， $f^{\prime}(x)=(2 x)^{\prime}=2$, 当 $1<x<2$ 时， $f^{\prime}(x)=\left(x^2+1\right)^{\prime}=2 x$,
当 $x=1$ 时， $f_{-}^{\prime}(1)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{2 x-2}{x-1}=2$
$f_{+}^{\prime}(1)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^2+1-2}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x+1)=2$
由 $f_{+}^{\prime}(1)=f_{-}^{\prime}(1)=2$ 知， $f^{\prime}(1)=2$. 所以 $f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc}2, & 0<x \leq 1 \\ 2 x, & 1<x<2\end{array}\right.$.

完整的求导公式  http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1296

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