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直角坐标系下二重积分的计算
日期:
2022-12-31 15:22
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根据二重积分的定义，如果函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上可积，则二重积分的值与 对积分区域的分割方法无关. 因此，在直角坐标系中，常用平行于 $x$ 轴 和 $y$ 轴的两组直线来分割积分区域 $D$ ，则除 了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小 闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域 $\Delta \sigma_i$ 的边长为 $\Delta x_i$ 和 $\Delta y_j$ ，于是 $\Delta \sigma_i=\Delta x_i \Delta y_j$ （见 图 7-7).  故在直角坐标系中，面积微元 $\mathrm{d} \sigma$ 可记为 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，即 $\mathrm{d} \sigma=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 进而把二 重积分记为 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，这里我们把 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 称为直角坐标系下的面积微元. 在实际应用中，直接通过二重积分的定义和性质来计算二重积分一般是困难 的，本节和下一节，我们要讨论二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分 化为两次定积分来计算，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分. 本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算. **矩形区域上的二重积分** 设函数 $z=f(x, y)$ 在矩形区域 $$ D=\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\} \text { 上连续， } $$ 且 $f(x, y) \geq 0$. 由前面的内容可知， $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值等于以 $D$ 为底，以曲面 $z=f(x, y)$ 为 顶的曲顶柱体的体积. 在区间 $[a, b]$ 上任意选定一 点 $x_0$ ，作垂直于 $x$ 轴的平面 $x=x_0$ ，此平面截曲顶柱体所得 到的截面是一个以 $[c, d]$ 为底的 以曲线 $z=f\left(x_0, y\right)$ 为曲边的曲 边梯形 (图 7-8) . 由定积分的 几何应用可知，曲边梯形的面积 可以用定积分来计算，则截面面 积为 $S\left(x_0\right)=\int_c^d f\left(x_0, y\right) \mathrm{d} y$.  对于区间 $[a, b]$ 上的任何一点 $x$ ，对应的截面面积为 $$ S(x)=\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y . $$ 故曲顶柱体的体积 $V$ 为 $$ V=\int_a^b S(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left[\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y $$ 即 $$ \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y . $$ 式(1)的右端称为先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分. 这个公式表明，矩形区域上的二重积分可以转化为先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分 来计算. 例 4 计算定积分 $\int_0^1(x+y) \mathrm{d} y$. 解 因为被积函数 $x+y$ 是 $x, y$ 的二元函数，而积分变量是 $y$. 因此求 $x+y$ 的原函数的时候，可以把 $x$ 看成是常数，故原函数为 $x \cdot y+\frac{1}{2} y^2$ ， 故定积分的值为 $$ \int_0^1(x+y) \mathrm{d} y=\left.x \cdot[y]\right|_0 ^1+\left.\left[\frac{1}{2} y^2\right]\right|_0 ^1=x(1-0)+\frac{1}{2}\left(1^2-0^2\right)=x+\frac{1}{2}=\frac{2 x+1}{2} . $$ 这是一个关于 $x$ 的函数. 例 5 计算二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中区域 $D$ 是由 $x=0, x=1, y=0 ， y=1$ 所围 成的矩形. 解 因为 $D$ 是矩形区域,且 $\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^y$, 所以 $$ \begin{aligned} \iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{e}^y \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x \int_0^1 \mathrm{e}^y \mathrm{~d} y \\ = & =\int_0^1 \mathrm{e}^x\left(\left.\mathrm{e}^y\right|_0 ^1\right) \mathrm{d} x=\int_0^1 \mathrm{e}^x(\mathrm{e}-1) \mathrm{d} x=(\mathrm{e}-1)^2 . \end{aligned} $$ 我们还可以通过另一个截面来求 曲顶柱体的体积，从而得到二重积分 的另一个计算方法. 现过 $y$ 轴上任一 点 $y_0$ 做垂直于 $x O y$ 面的截面，这是一 个曲边梯形，是以人 $[a, b]$ 为底，以曲面 $z=f(x, y)$ 和平面 $y=y_0$ 的交线 $y=f\left(x, y_0\right)$ 为顶的曲边梯形（见图 79)，即 $Q\left(y_0\right)=\int_a^b f\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x$.  由 $y_0$ 的任意性可知，过 $y$ 轴上任一点 $y$ 的截面面积 为 $Q(y)=\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x$ ，这是 $y$ 的函数. 利用已知截面面积的立体体积公式可知， 曲顶柱体的体积是 $$ V=\int_c^d Q(y) \mathrm{d} y=\int_c^d\left[\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y . $$ 式 (2) 的右端称为先对 $x$ 、后对 $y$ 的二次积分. $$ V=\int_c^d Q(y) \mathrm{d} y=\int_c^d\left[\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y . $$ 上述公式也记为 $$ V=\int_c^d\left[\int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x . $$ 因此我们可以得到矩形区域上的二重积分的计算公式: $$ \iint_{\substack{D=[a, b] \backslash[, d]}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x $$ 上式对 $f(x, y)<0$ 也成立. 例 5 计算二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中区域 $D$ 是由 $x=0, x=1, y=0 ， y=1$ 所围 成的矩形. 例 5 也可以用另外一种次序的二次积分来计算. $$ \iint_D \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{e}^y \mathrm{~d} x=\int_0^1 \mathrm{e}^y \mathrm{~d} y \int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x $$ $$ =\int_0^1 \mathrm{e}^y\left(\left.\mathrm{e}^x\right|_0 ^1\right) \mathrm{d} y=\int_0^1 \mathrm{e}^y(\mathrm{e}-1) \mathrm{d} y=(\mathrm{e}-1)^2 . $$ 例 6 计算 $I=\iint_D x y^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=[0,1] \times[1,2]$. 解 $f(x, y)=x y^2$ 在 $D$ 上连续，若先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分，则有 $$ I=\iint_D x y^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_0^1 x y^2 \mathrm{~d} x=\int_1^2 y^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \int_1^2 y^2 \mathrm{~d} y=\left[\frac{1}{6} y^3\right]_1^2=\frac{7}{6} $$ 若先对 $y$ 积分后对 $x$ 积分， 则有 $$ I=\iint_D x y^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^2 x y^2 \mathrm{~d} y=\int_0^1 x\left[\frac{y^3}{3}\right]_1^2 \mathrm{~d} x=\frac{7}{3} \int_0^1 x \mathrm{~d} x=\left[\frac{7}{6} x^2\right]_0^1=\frac{7}{6} $$
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