最后更新: 2025-03-29 16:31 查看: 2794 次反馈同步训练

复合函数求导法则

## 复合函数求导法则

> 复合函数的求导法则分为**一元函数的求导法则**和**多元函数(偏导数)的求导法则**，本文介绍的一元函数的求导法则，要查看多元函数的求导发展，请点击 [多元函数复合求导链式法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=385)

### 复合函数的正确分解 
$y=f[g(x)]$ 由内函数 $u=g(x)$ 和外函数 $y=f(u)$ 复合而成.
例如， $y=\sin ^2 x$ 由 $u=\sin x$ 和 $y=u^2$ 复合而成，
$y=\ln \frac{x^2-1}{x^2+1}$ 由 $u=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ 和 $y=\ln u$ 复合而成.

### 显函数与隐函数的表示方式

函数 $y=f(x)$ 表示变量 $y$ 与 $x$ 之间的对应关系， 这种对应关系可以用不同的方式表达。例如， $y=\sin x, y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，用这种方式表达的函数叫作**显函数**. 但也有些函数的表达方式不是这样，如 $x \mathrm{e}^y-y+1=0 ， \quad x+y^3+1=0 \quad$ 通过一个方程确定变量 $y$ 与 $x$ 之间的对应关系，这样的函数称为**隐函数**.

### 由参数确定的方程 
在实际问题中，函数 $y$ 与自变量 $x$ 可能不是直接由 $y=f(x)$ 表示， 而是通过一参变量 $t$ 来表示，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{array}\right.
$$

比如
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\sin^2 t \\
y=\cos^2 t
\end{array}\right.
$$

对于 显函数、隐函数和参数方程确定的函数进行求导统称为符合函数求导。

## 复合函数的求导法则 
如果 $y=f(u)$ 在点 $u$ 处可导， $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 处可导，则有如下结论

$$\boxed{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text { (即 } y^{\prime}(x)=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x) )
}
$$

**证明**：由 $u=g(x)$ 在点 $x$ 处连续(可导 $\Rightarrow$ 连续)知， 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，
$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x) \rightarrow 0$ 故 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \alpha=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \alpha=0$ 因此，

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f^{\prime}(u) \frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha \frac{\Delta u}{\Delta x}\right]=f^{\prime}(u) g^{\prime}(x) \text { 即 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}
$$

> 在实际应用中，可将 $\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d z} \cdot \frac{d z}{d x}$ 看作是**分数的约分**过程。

复合函数的求导法则也称为**链式法则**， 它可推广到有限个函数复合的情形.
比如，若 $y=f(u) ， u=g(v)$ 和 $v=h(x)$ 可导，则 $y=f\{g[h(x)]\}$

$$
\boxed{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(v) \cdot h^{\prime}(x)
}
$$

> 复合函数求导，犹如剥洋葱，一层层从外往里剥，直到剥到最里层。最里层即是微分表里所载的16个[基本微分函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274)，这种法则被称为**洋葱法则**。

## 例题

`例` 求下列函数的导数
(1) $y=e^{2x}$
设 $y=\mathrm{e}^u, u=2 x$ 则

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\left(\mathrm{e}^u\right)^{\prime} \cdot(2 x)^{\prime}=\mathrm{e}^u \cdot 2=2 \mathrm{e}^u=2 \mathrm{e}^{2 x}
$$

(2) $y=\sin x^2$
设 $y=\sin u, u=x^2$ ，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=(\sin u)^{\prime} \cdot\left(x^2\right)^{\prime}=\cos u \cdot 2 x=2 x \cos x^2$

(3) $y=\left(x^2+1\right)^{10}$
设 $y=u^{10}, u=x^2+1$ ，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=10 u^9 \cdot 2 x=10\left(x^2+1\right)^9 \cdot 2 x=20 x\left(x^2+1\right)^9$

（4) $y=\sqrt{1-x^2} \quad$ 函数 $y=\sqrt{1-x^2}$ 可以看作由 $y=\sqrt{u}$ 和 $u=1-x^2$ 复合而成，故

$$
y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=(\sqrt{u})^{\prime} \cdot\left(1-x^2\right)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot(-2 x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
$$

在实际做题过程中，我们通常不写出中间函数，而是一气呵成，中间函数这在大脑里闪存，然后立刻写出他的导数。

`例` 求下

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