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高等数学
第二章 一元函数微分学
参数方程的导数
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更新:
2024-10-02 15:04
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参数方程的导数
## 参数方程的导数 考虑由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)^{\prime}\end{array}\right.$ (其中 $t$ 为参数) 确定的函数 $y=y(x)$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 如果能从 $x=\varphi(t)$ 中解出 $t=\varphi^{-1}(x)$ ,则由 $y=\psi\left(\varphi^{-1}(x)\right)$ 求得导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 这个方法 实质是消去参数 $t$ ,但这个工作是困难的(有时是不可能的,如 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t+\mathrm{e}^t \\ y=t^2+\cos t\end{array}\right.$. 现在我们希望有一种方法,能直接由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ 算出它们所确定的函数 的导数. 下面就来讨论这种求导数的方法. 如果 $x=\varphi(t)$ 的反函数为 $t=\varphi^{-1}(x)$ , 且它满足反函数的求导条件,则可将 $y=\psi\left[\varphi^{-1}(x)\right]$ 看作 $y=\psi(t)$ 与 $t=\varphi^{-1}(x)$ 的复合函数. 利用反函数的求导法则,得 $$ \boxed{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)} } $$ 这里 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$ 是反函数的求导法则中的条件之一. 如果 $x=\varphi(t) 、 y=\psi(t)$ 二阶可导,则有二阶导数 $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right) & =\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^2}}{\varphi^{\prime}(t)} \\ & =\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^3} \end{aligned} $$ 类似地,我们可求得更高阶的导数. `例` 已知圆的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=a \sin t^{\prime}\end{array}(a>0)\right.$ ,求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 解 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{(a \sin t)^{\prime}}{(a \cos t)^{\prime}}=\frac{a \cos t}{-a \sin t}=-\cot t$ `例` 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 \varphi \\ y=b \sin ^3 \varphi\end{array}(a, b>0)\right.$ ,求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 解 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \varphi}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \varphi}}=\frac{3 b \sin ^2 \varphi \cos \varphi}{3 a \cos ^2 \varphi(-\sin \varphi)}=-\frac{b}{a} \tan \varphi$ `例` 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ,求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$. 解 $$ \begin{aligned} & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{1-\frac{1}{1+t^2}}{\frac{2 t}{1+t^2}}=\frac{t}{2} ; \\ & \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2 t}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{4 t} . \end{aligned} $$ `例` 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=a(t-\sin t) \\ y=a \sin t\end{array}\right.$ ,求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$. 解 $$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{a \sin t}{a(1-\cos t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t^{\prime}} \\ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t \cdot \sin t}{(1-\cos t)^2}}{a(1-\cos t)}=-\frac{1}{a(1-\cos t)^2} . \end{gathered} $$ `例` 设参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=a(t-\sin t) \\ y=a \sin t\end{array}\right.$ ,求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$. 或直接运用公式求二阶导数: 由 $x_t^{\prime}=a(1-\cos t) , y_t^{\prime}=a \sin t , x_t^{\prime \prime}=a \sin t , y_t^{\prime \prime}=a \cos t$ 得 $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} & =\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\left[\varphi^{\prime}(t)\right]^3} \\ & =\frac{a(1-\cos t) a \cos t-a^2 \sin ^2 t}{a^3(1-\cos t)^3}=-\frac{1}{a(1-\cos t)^2} . \end{aligned} $$
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