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对弧长曲线积分的计算方法
日期:
2023-01-01 13:04
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例 3 计算曲线积分 $\oint_L \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} s$, 其中 $L: x^2+y^2=a x(a>0)$. (见图 7-45)  解 这道题也可以像例 2 一样，用圆的参数方程来做. 现在我们选择极坐标， 要注意两种方程的差别. $$ \text { 设 }\left\{\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta^{\prime} \end{array} \quad L: r=a \cos \theta\left(-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)\right. \text { ， } $$ 即 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos ^2 \theta \\ y=a \cos \theta \sin \theta\end{array}, \mathrm{d} s=a \mathrm{~d} \theta\right.$ ， 则 $\int_L \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} s=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a^2 \cos \theta \mathrm{d} \theta=2 a^2$. 例 4 计算曲线积分 $\int_L y^2 \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为摆线的一拱: $x=a(t-\sin t)$ ， $$ y=a(1-\cos t) \text { ， }(0 \leq t \leq 2 \pi) \text {. (见图 7-46) } $$  例 4 计算曲线积分 $\int_L y^2 \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为摆线的一拱: $x=a(t-\sin t)$ ， $y=a(1-\cos t),(0 \leq t \leq 2 \pi)$. (见图 7-46) $$ \begin{aligned} & \int_L y^2 \mathrm{~d} s=\int_0^{2 \pi}[a(1-\cos t)]^2 \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2 \sin ^2 t \mathrm{~d} t} \\ & =a^3 \int_0^{2 \pi}(1-\cos t)^2 \sqrt{2-2 \cos t} \mathrm{~d} t=8 a^3 \int_0^{2 \pi} \sin ^5 \frac{t}{2} \mathrm{~d} t \\ & =-16 a^3 \int_0^{2 \pi}\left(1-\cos ^2 \frac{t}{2}\right)^2 \mathrm{~d}\left(\cos \frac{t}{2}\right)=-16 a^3 \int_0^{2 \pi}\left(1-2 \cos ^2 \frac{t}{2}+\cos ^4 \frac{t}{2}\right) \mathrm{d}\left(\cos \frac{t}{2}\right) \\ & =-16 a^3\left[\cos \frac{t}{2}-\frac{2}{3} \cos ^2 \frac{t}{2}+\frac{1}{5} \cos ^5 t\right]_0^{2 \pi}=\frac{256}{15} a^3 \end{aligned} $$ 例 5 计算曲线积分 $\oint_L(x+y) d s$ ，其中 $L$ 为连接三点 $O(0,0) 、 A(1,0) 、 B(1,1)$ 的封闭折线段 $O A B O$. (图 7-47)  解 $\int_L(x+y) d s=\int_{\overline{D A}}(x+y) \mathrm{d} s+\int_{A B}(x+y) \mathrm{d} s+\int_{\overline{B O}}(x+y) \mathrm{d} s$ ， 在 $\overline{O A}$ 上， $y=0(0 \leq x \leq 1) ， \mathrm{ds}=\mathrm{d} x ， \int_{O A}(x+y) \mathrm{ds}=\int_0^1 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}$ ； 在 $\overline{A B}$ 上， $x=1(0 \leq y \leq 1) ， \mathrm{ds}=\mathrm{d} y ， \int_{\overline{A B}}(x+y) \mathrm{ds}=\int_0^1(1+y) \mathrm{d} y=\frac{3}{2}$ ； 在 $\overline{B O}$ 上， $y=x(0 \leq x \leq 1) ， \mathrm{ds}=\sqrt{1+1^2} \mathrm{~d} x=\sqrt{2} \mathrm{~d} x ， \int_{B O}(x+y) \mathrm{ds}=\int_0^1 2 x \sqrt{2} \mathrm{~d} x=\sqrt{2}$ ， 故 $\quad f(x+y) \mathrm{d} s=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$. 例 6 计算曲线积分 $\int_{\text {Г }}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s$ ， 其中 $\Gamma$ 为螺旋线 $$ x=a \cos t, y=a \sin t, z=k t \text { 上 } $$ 相应于 $t$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧 (见图 7-48).  例 6 计算曲线积分 $\int_{\Gamma}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=k t$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧 (见图 7-48）. $$ \text { 解 } \begin{aligned} & \int_{\Gamma}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s \\ = & \int_0^{2 \pi}\left[(a \cos t)^2+(a \sin t)^2+(k t)^2\right] \sqrt{(-a \sin t)^2+(a \cos t)^2+(k)^2} \mathrm{~d} t \\ = & \int_0^{2 \pi}\left[a^2+k^2 t^2\right] \sqrt{a^2+k^2} \mathrm{~d} t=\sqrt{a^2+k^2}\left[a^2 t+\frac{k^2}{3} t^3\right]_0^{2 \pi} \\ = & \frac{2}{3} \pi \sqrt{a^2+k^2}\left(3 a^2+4 \pi^2 k^2\right) \end{aligned} $$ 例 7 求 $I=\int_{\Gamma} x^2 \mathrm{~d} s$, 其中 $\Gamma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $x+y+z=0$ 所截 得的圆周 (见图 7-49). 解 由对称性知 $$ \int_{\Gamma} x^2 \mathrm{~d} s=\int_{\Gamma} y^2 \mathrm{~d} s=\int_{\Gamma} z^2 \mathrm{~d} s, $$ 所以 $$ \begin{aligned} & I=\frac{1}{3} \int_{\Gamma}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s=\frac{1}{3} \int_{\Gamma} a^2 \mathrm{~d} s \\ & =\frac{a^2}{3} \int_{\Gamma} \mathrm{ds}=\frac{2 \pi a^3}{3} \text { 其中 } \int_{\Gamma} \mathrm{ds}=2 \pi a \text { 为球面的大圆周长. } \\ & \end{aligned} $$ 
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