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高等数学[教程类] Calculus（考研专区）
第二章 一元函数微分学及其应用
柯西中值定理
柯西中值定理
日期:
2023-10-01 11:28
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定理3 (柯西中值定理) 设函数 $f(x) ， F(x)$ 满足 (1) 在 $[a, b]$ 上连续; （2 ) (在 $b)$ 内可导； (3) 当 $x \in(a, b)$ 时， $F^{\prime}(x) \neq 0$ ， 则至少存在一点，使 $$ \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)} $$ 证明从略，几何意义如图2-23所示.  例9 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。试证明至少存在一 点 $\xi \in(0,1)$ ，使 $$ f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)] . $$ 证明 作辅助函数 $g(x)=x^2$, 则 $f(x), g(x)$ 在 [0,1] 上满足柯西中值定理的条 件，故在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $$ \frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{2 \xi} . $$ 即 $f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]$.
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