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麦克劳林公式

## 麦克劳林公式
在[泰勒公式](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304)里说过，麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况。即$x_0 = 0$ 时的泰勒公式被称为麦克劳林公式。
下面给出4个常用的展开式

## 例题
`例` 写出函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 带有拉格朗日型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式.
解 由 $f^{(n)}(x)=\mathrm{e}^x ， f^{(n)}(0)=\mathrm{e}^0=1, n=1,2, \cdots$ ，又 $f^{(n+1)}(\theta x)=\mathrm{e}^{\theta x}$ ，
得 $\quad \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n+1) !} x^{n+1}$
其中 $0<\theta<1$.

注 近似公式

$$
\mathrm{e}^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !},\left|R_n(x)\right| \leq \frac{\mathrm{e}^x}{(n+1) !}|x|^{n+1}
$$

特别地取 $x=1$ 则有 $\mathrm{e} \approx 1+1+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !} ，\left|R_n\right| \leq \frac{3}{(n+1) !}$

`例` 证明 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$.
证明 取 $f(x)=\ln (1+x) ， f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{(1+x)^n} ， f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1) !$ ， $n=1,2, \cdots$ ，因此

$$
\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)
$$

`例` 证明 $\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots+(-1)^{m-1} \frac{x^{2 m-1}}{(2 m-1) !}+R_{2 m}(x)$.
其中

$$
R_{2 m}(x)=\frac{\sin \left[(2 m+1) \frac{\pi}{2}+\theta x\right]}{(2 m+1) !} x^{2 m+1}(0<\theta<1)
$$

证明 取 $f(x)=\sin x ， f^{(n)}(x)=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$ ，则 $f^{(n)}(0)=\sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ ，且 $f(0)=0$ ， $f^{(n)}(0)$ 依次循环取四 $1 ， 0 ，-1 ， 0$.
因此 $\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\cdots+(-1)^{m-1} \frac{x^{2 m-1}}{(2 m-1) !}+R_{2 m}(x)$
其中 $R_{2 m}(x)=\frac{\sin \left[(2 m+1) \frac{\pi}{2}+\theta x\right]}{(2 m+1) !} x^{2 m+1}(0<\theta<1)$
同理， $\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\frac{x^6}{6 !}+\cdots+(-1)^m \frac{x^{2 m}}{(2 m) !}+\frac{\cos [\theta x+(m+1) \pi]}{(2 m+2) !} x^{2 m}$

### 常用的展开
几个常用初等函数的带拉格朗日型余项或皮亚诺型余项的麦克劳林公式:
(其中 $0<\theta<1$ ).

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n+1) !} x^{n+1} ; \\
& \sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+\frac{\sin \left[\theta x+(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right]}{(2 n+1) !} x^{2 n+1} ; \\
& \cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\frac{x^6}{6 !}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\frac{\cos [\theta x+(n+1) \pi]}{(2 n+2) !} x^{2 n+2} ;
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}+o\left(x^{n+1}\right) ; \\
& \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o\left(x^n\right) ; \\
& (1+x)^a=1+a x+\frac{a(a-1)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !} x^n+o\left(x^{n+1}\right)(a \in \mathrm{R})
\end{aligned}
$$

在实际应用中，上述已知初等函数的麦克劳林公式常用于间接地展开一些 更复杂的函数的麦克劳林公式，以及求某些函数的极限等.
`例` 写出函数 $f(x)=x^3 \ln x$ 在 $x=1$ 处带有拉格朗日型余项的四阶泰勒公式.
解

$$
\begin{array}{rlrl}  f(x) & =x^3 \ln x, & f(1)=0, \\
f^{\prime}(x) & =3 x^2 \ln x+x^2, & f^{\prime}(1)=1, \\
f^{\prime \prime}(x) & =6 x \ln x+5 x, & f^{\prime \prime}(1)=5, \\
f^{\prime \prime \prime}(x) & =6 \ln x+11, & f^{\prime \prime \prime}(1)=11,
\end{array}
$$

继续可得到

$$
\begin{array}{ll}
f^{(4)}(x)=\frac{6}{x}, & f^{(4)}(1)=6, \\
f^{(5)}(x)=-\frac{6}{x^2}, & f^{(5)}(\xi)=-\frac{6}{\xi^2} .
\end{array}
$$

于是 $x^3 \ln x=(x-1)+\frac{5}{2 !}(x-1)^2+\frac{11}{3 !}(x-1)^3+\frac{6}{4 !}(x-1)^4-\frac{6}{5 ! \xi^2}(x-1)^5$, 其中 $\xi$ 在 1 与 $x$ 之间。

`例` 求 $y=\frac{1}{3-x}$ 在 $x=1$ 处带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶泰勒展开式.
解

$$
\begin{aligned}
y & =\frac{1}{3-x}=\frac{1}{2-(x-1)}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{x-1}{2}} \\
& =\frac{1}{2} \cdot\left[1+\frac{x-1}{2}+\left(\frac{x-1}{2}\right)^2+\mathrm{L}+\left(\frac{x-1}{2}\right)^n+o\left(\frac{x-1}{2}\right)^n\right] \\
& =\frac{1}{2}+\frac{x-1}{2^2}+\frac{(x-1)^2}{2^3}+\mathrm{L}+\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}+o\left[(x-1)^n\right]
\end{aligned}
$$

`例` 求函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{-x}$ 的带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式.
解 因为 $\mathrm{e}^{-x}=1+(-x)+\frac{(-x)^2}{2 !}+\cdots+\frac{(-x)^{n-1}}{(n-1) !}+o\left(x^{n-1}\right)$,
所以

$$
x \mathrm{e}^{-x}=x-x^2+\frac{x^3}{2 !}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{(n-1) !}+o\left(x^n\right) .
$$

`例` 利用带有皮亚诺型余项的麦克劳林展开式计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^2}+2 \cos x-3}{x^4}$.
解 因为 $\mathrm{e}^{x^2}=1+x^2+\frac{1}{2 !} x^4+o\left(x^4\right), \cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}+o\left(x^4\right)$,
所以 $\mathrm{e}^{x^2}+2 \cos x-3=\left(\frac{1}{2 !}+2 \cdot \frac{1}{4 !}\right) x^4+o\left(x^4\right)$,
从而

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^2}+2 \cos x-3}{x^4}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{7}{12} x^4+o\left(x^4\right)}{x^4}=\frac{7}{12} .
$$

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