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高等数学
第二章 一元函数微分学及其应用
函数单调性的判别
最后更新:
2023-10-01 11:28
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函数单调性的判别
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ 区间 $I \subset D$ ，如果对于区间 $I$ 上任意两 点 $x_1 、 x_2$ ，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加（见图2-24)，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ ，则称函 数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调减少（见图2-25），单调增加或单调减少的 函数统称单调函数.  有时我们还需要研究曲线的弯曲方向， 如果曲线上任意弧段位于所张弦的下方，这样的曲线称为凹弧（见图2-26），如果曲线上任意弧段位于所张弦的上方，这样的曲线称为凸弧（见图2-27）.  先从函数图形来观察单调函数有什么特点. 由图2-28可知，(１) 曲线沿 轴正向上升，(２) 曲线的切线的斜率均非负，即 $f'(x) \ge 0$ ； 由图2-29可知，(１) 曲线沿 轴正向下降，(２) 曲线的切线的斜率均非正，即 $f'(x) \le 0$ ；  因此可得到，函数的单调性与函数的导数符号之间有着密切的关系。能否用一个区间上的导数符号来判定函数在该区间上的单调性呢? 拉格朗日中值定理建立了函数与导数之间的联系，利用中值定理可以得出函数单调性的判别法. 定理 1 (单调性的判别法) 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，且在 $I$ 内可导， 若在 $I$ 内 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调增加，若在 $I$ 内 $f^{\prime}(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调减少. 证明 任取 $x_1 ， x_2 \in I$ ，不妨设 $x_1<x_2 ， f(x)$ 在 $\left[x_1, x_2\right]$ 上满足拉格朗日中 值定理的条件，则有 $$ f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x_2-x_1\right) \text { ， 其中 } \xi \in\left(x_1, x_2\right) $$ 因此，若在 内 $I f^{\prime}(x)>0 \quad$ 则 $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0 \quad$ 即在区间 止 单调增加； 若在 㐻 $f^{\prime}(x)<0$ 则 $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)<0$ 即在区间 $I \mathbb{E}(x)$ 单调减少. 例 1 讨论函数 $y=\arctan x$ 的单调性. 解 $y^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}-1=-\frac{x^2}{1+x^2}$ ， 在 $(-\infty,+\infty)$ 内，除 $x=0$ 时 $y^{\prime}=0$ 外，恒有 $\frac{x^2}{1+x^2}>0$ ，所以在 $(0,+\infty)$ 及 $(-\infty, 0)$ 内恒有 $y^{\prime}<0 ，$ 因此 $y=\arctan x-x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是单调减少的 (见图2-30).  例2 讨论函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的单调性. 解 $y^{\prime}=\mathrm{e}^x-1$ ，当 $x \in(-\infty, 0]$ 时， $y^{\prime}<0$ ， 即函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调减少，当 $x \in[0,+\infty)$ 时， $y^{\prime}>0$ 即函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加 (见图2-31）. 其中 $x=0$ 是函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 的单调区 间 $(-\infty, 0] ，[0,+\infty)$ 的分界点. 注 当 $x$ 时，,$y$ 鸪㕽看出使 的点凷能果划分函 数单调区间的分界点，它使原来在定义域内不单调的函 数在各个部分区间内是单调的.  下面讨论一下如何划分一个函数的单调区间。哪些点可能成为单调区间的 分界点? 使 $y^{\prime}=0$ 的点、导数不存在的点、函数不连续的点都可能成为单调区 间的分界点. 由此划分函数的单调区间可分下列步骤： (1) 找出函数的不连续点； (2) 求导数，找出使 $f^{\prime}(x)=0$ 及导数不存在的点； (3) 确定各个分划区间内导数的符号，由此得到函数的单调区间. 例3 讨论函数 $y=\ln \left(1-x^2\right)$ 的单调性. 解 函数的定义域为 $(-1,1) ， y^{\prime}=-\frac{2 x}{1-x^2}$. 令 $y^{\prime}=0$ ，则有 $x=0$ 。当 $-1<x<0$ 时， $y^{\prime}>0$ ， 故 $\ln \left(1-x^2\right)$ 在 $(-1,0)$ 上单调增加； 当 $0<x<1$ 时， $y^{\prime}<0$ ，故 $\ln \left(1-x^2\right)$ 在 $[0,1)$ 上单调减少 (见图2-32).  例4 判定函数 $y=x^3-3 x^2-9 x+14$ 的单调区间. 解 $y^{\prime}=3 x^2-6 x-9=3\left(x^2-2 x-3\right)=3(x+1)(x-3)$ 故 $x_1=-1, x_2=3$ 使 $y^{\prime}=0$ ，用这两点把定义域 $(-\infty,+\infty)$ 分成区间 $(-\infty,-1),(-1,3)$ 及 $(3,+\infty)$ ，其讨论结果列表如下:  例4 判定函数 $y=x^3-3 x^2-9 x+14$ 的单调区间. 所以，函数在 $(-\infty,-1)$ 和 $(3,+\infty)$ 内单调增加， 在 $(-1,3)$ 内单调减少 (见图2-33).  由这些例子可以看到，函数 $f(x)$ 单调区间分界点是 $f^{\prime}(x)=0$ 的点， 而 $f^{\prime}(x)$ 不存在的点也可能是单调区间的分界点. 例5 函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处导数不存在，显然函数在 $(-\infty, 0)$ 内单调减少， 在 $(0,+\infty)$ 内单调增加 (见图2-34) . 例6 函数 $y=\left\{\begin{array}{ll}1+x & x \in[-1,0) \\ 1-x & x \in[0,1]\end{array}\right.$ ，在 $x=0$ 处导数不存在，而 $x=0$ 也是单 调区间的一个分界点. 事实上，该函数在 $[-1,0)$ 内单调增加，在 $(0,1]$ 内单调 减少 (见图2-35).  单调性可以用来证明不等式. 例7 试证明当 $x>1$ 时, 有 $2 \sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$. 证明 考虑函数 $f(x)=2 \sqrt{x}-\left(3-\frac{1}{x}\right)$ ，只要证 $f(x)>0(x>1)$ 即可. $$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}=\frac{\sqrt{x^3}-1}{x^2} $$ 当 $x$ 眀， $f_1^{\prime}(x)>0$ 所以 $f(x)$ 严格单调增加. 而 $f(1)=0$ 因此，当 $x>1$ 时， $f(x)>f(1)=0$ ， 即当 $x$ 时， $2 \sqrt{x} \neg\left(3-\frac{1}{x}\right)>0 \quad 2 \sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$. 例8 证明方程 $x^5+x+1=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内有且只有一个实根. 证明 令 $f(x)=x^5+x+1$, 因 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,0]$ 上连续，且 $f(-1)=-1<0$ ， $f(0)=1>0$ ，根据零点定理， $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 内至少有一个零点. 另一方面，对于任意实数 $x$, 有 $f^{\prime}(x)=5 x^4+1>0$, 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调 增加，因此曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴至多有一个交点. 综上所述，可知方程 $x^5+x+1=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内有且只有一个实根.
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