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第二章 一元函数微分学及其应用
函数单调性的判别
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2023-10-01 11:28
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函数单调性的判别
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ 区间 $I \subset D$ ,如果对于区间 $I$ 上任意两 点 $x_1 、 x_2$ ,当 $x_1<x_2$ 时,恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ ,则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加(见图2-24),当 $x_1<x_2$ 时,恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ ,则称函 数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调减少(见图2-25),单调增加或单调减少的 函数统称单调函数. ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228809c00b.png) 有时我们还需要研究曲线的弯曲方向, 如果曲线上任意弧段位于所张弦的下方,这样的曲线称为凹弧(见图2-26),如果曲线上任意弧段位于所张弦的上方,这样的曲线称为凸弧(见图2-27). ![图片](/uploads/2022-12/image_202212286f8041f.png) 先从函数图形来观察单调函数有什么特点. 由图2-28可知,(1) 曲线沿 轴正向上升,(2) 曲线的切线的斜率均非负,即 $f'(x) \ge 0$ ; 由图2-29可知,(1) 曲线沿 轴正向下降,(2) 曲线的切线的斜率均非正,即 $f'(x) \le 0$ ; ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228274407d.png) 因此可得到,函数的单调性与函数的导数符号之间有着密切的关系。能否用一个区间上的导数符号来判定函数在该区间上的单调性呢? 拉格朗日中值定理建立了函数与导数之间的联系,利用中值定理可以得出函数单调性的判别法. 定理 1 (单调性的判别法) 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续,且在 $I$ 内可导, 若在 $I$ 内 $f^{\prime}(x)>0$ ,则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调增加,若在 $I$ 内 $f^{\prime}(x)<0$ ,则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调减少. 证明 任取 $x_1 , x_2 \in I$ ,不妨设 $x_1<x_2 , f(x)$ 在 $\left[x_1, x_2\right]$ 上满足拉格朗日中 值定理的条件,则有 $$ f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x_2-x_1\right) \text { , 其中 } \xi \in\left(x_1, x_2\right) $$ 因此,若在 内 $I f^{\prime}(x)>0 \quad$ 则 $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0 \quad$ 即在区间 止 单调增加; 若在 㐻 $f^{\prime}(x)<0$ 则 $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)<0$ 即在区间 $I \mathbb{E}(x)$ 单调减少. 例 1 讨论函数 $y=\arctan x$ 的单调性. 解 $y^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}-1=-\frac{x^2}{1+x^2}$ , 在 $(-\infty,+\infty)$ 内,除 $x=0$ 时 $y^{\prime}=0$ 外,恒有 $\frac{x^2}{1+x^2}>0$ ,所以在 $(0,+\infty)$ 及 $(-\infty, 0)$ 内恒有 $y^{\prime}<0 ,$ 因此 $y=\arctan x-x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是单调减少的 (见图2-30). ![图片](/uploads/2022-12/image_202212285648366.png) 例2 讨论函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的单调性. 解 $y^{\prime}=\mathrm{e}^x-1$ ,当 $x \in(-\infty, 0]$ 时, $y^{\prime}<0$ , 即函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调减少,当 $x \in[0,+\infty)$ 时, $y^{\prime}>0$ 即函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加 (见图2-31). 其中 $x=0$ 是函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 的单调区 间 $(-\infty, 0] ,[0,+\infty)$ 的分界点. 注 当 $x$ 时,,$y$ 鸪㕽看出使 的点凷能果划分函 数单调区间的分界点,它使原来在定义域内不单调的函 数在各个部分区间内是单调的. ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228639adf7.png) 下面讨论一下如何划分一个函数的单调区间。哪些点可能成为单调区间的 分界点? 使 $y^{\prime}=0$ 的点、导数不存在的点、函数不连续的点都可能成为单调区 间的分界点. 由此划分函数的单调区间可分下列步骤: (1) 找出函数的不连续点; (2) 求导数,找出使 $f^{\prime}(x)=0$ 及导数不存在的点; (3) 确定各个分划区间内导数的符号,由此得到函数的单调区间. 例3 讨论函数 $y=\ln \left(1-x^2\right)$ 的单调性. 解 函数的定义域为 $(-1,1) , y^{\prime}=-\frac{2 x}{1-x^2}$. 令 $y^{\prime}=0$ ,则有 $x=0$ 。当 $-1<x<0$ 时, $y^{\prime}>0$ , 故 $\ln \left(1-x^2\right)$ 在 $(-1,0)$ 上单调增加; 当 $0<x<1$ 时, $y^{\prime}<0$ ,故 $\ln \left(1-x^2\right)$ 在 $[0,1)$ 上单调减少 (见图2-32). ![图片](/uploads/2022-12/image_202212282de769c.png) 例4 判定函数 $y=x^3-3 x^2-9 x+14$ 的单调区间. 解 $y^{\prime}=3 x^2-6 x-9=3\left(x^2-2 x-3\right)=3(x+1)(x-3)$ 故 $x_1=-1, x_2=3$ 使 $y^{\prime}=0$ ,用这两点把定义域 $(-\infty,+\infty)$ 分成区间 $(-\infty,-1),(-1,3)$ 及 $(3,+\infty)$ ,其讨论结果列表如下: ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228446f2a0.png) 例4 判定函数 $y=x^3-3 x^2-9 x+14$ 的单调区间. 所以,函数在 $(-\infty,-1)$ 和 $(3,+\infty)$ 内单调增加, 在 $(-1,3)$ 内单调减少 (见图2-33). ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228f2cb139.png) 由这些例子可以看到,函数 $f(x)$ 单调区间分界点是 $f^{\prime}(x)=0$ 的点, 而 $f^{\prime}(x)$ 不存在的点也可能是单调区间的分界点. 例5 函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处导数不存在,显然函数在 $(-\infty, 0)$ 内单调减少, 在 $(0,+\infty)$ 内单调增加 (见图2-34) . 例6 函数 $y=\left\{\begin{array}{ll}1+x & x \in[-1,0) \\ 1-x & x \in[0,1]\end{array}\right.$ ,在 $x=0$ 处导数不存在,而 $x=0$ 也是单 调区间的一个分界点. 事实上,该函数在 $[-1,0)$ 内单调增加,在 $(0,1]$ 内单调 减少 (见图2-35). ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228e7e5de1.png) 单调性可以用来证明不等式. 例7 试证明当 $x>1$ 时, 有 $2 \sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$. 证明 考虑函数 $f(x)=2 \sqrt{x}-\left(3-\frac{1}{x}\right)$ ,只要证 $f(x)>0(x>1)$ 即可. $$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}=\frac{\sqrt{x^3}-1}{x^2} $$ 当 $x$ 眀, $f_1^{\prime}(x)>0$ 所以 $f(x)$ 严格单调增加. 而 $f(1)=0$ 因此,当 $x>1$ 时, $f(x)>f(1)=0$ , 即当 $x$ 时, $2 \sqrt{x} \neg\left(3-\frac{1}{x}\right)>0 \quad 2 \sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$. 例8 证明方程 $x^5+x+1=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内有且只有一个实根. 证明 令 $f(x)=x^5+x+1$, 因 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,0]$ 上连续,且 $f(-1)=-1<0$ , $f(0)=1>0$ ,根据零点定理, $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 内至少有一个零点. 另一方面,对于任意实数 $x$, 有 $f^{\prime}(x)=5 x^4+1>0$, 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调 增加,因此曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴至多有一个交点. 综上所述,可知方程 $x^5+x+1=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内有且只有一个实根.
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