最后更新: 2025-03-30 10:26 查看: 869 次反馈同步训练

曲线的渐近线

## 曲线的渐近线功能
在平面上，当曲线伸向无穷远处时，一般很难把它画准确. 但如果曲线伸向无穷远处，且能渐渐靠近一条直线，那么就可以既快又好地画出趋于无穷远处这条曲 线的走向趋势.
例如，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ，当 $x \rightarrow \infty$ 时 就渐渐靠近两条直线 (见图2-54) : $y=\frac{b}{a} x$ 和 $y=-\frac{b}{a} x$.
对于一般的曲线，有时也能找到这样的直线.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122800ca0db.png)

## 定义
假设曲线 $y=f(x)$ 不限制在有限平面内, 即其上的点 $P$ 可以趋于无穷远, 如果曲线的点 $P$ 到直线 $\ell: a x+t y+c=0$ 的距离 $d$, 当 $P$ 沿曲线趋于无穷远时, $d \rightarrow 0$, 那么我们称直线 $\ell$ 为所给曲线的渐近线.

#### 水平渐近线及其求法
设 $\ell_1: y=\alpha$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线, 曲线上的 $P(x, f(x))$ 点到 $\ell_1$ 的距离为

$$
d=|\alpha-f(x)|
$$

因 $\ell_1$ 为渐近线, 所以, 当 $x \rightarrow+\infty$ 或 $x \rightarrow-\infty$ 时, 应有 $d \rightarrow 0$, 即

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha, \quad \text { 或 } \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\alpha
$$

反之, 若上式成立, 则 $y=\alpha$ 必为 $y=f(x)$ 的一条渐近线.

#### 铅直渐近线及其求法
设 $\ell_2: x=\beta$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线, 又 $P(x, f(x))$ 为曲线上的任意一点, 它到 $x=\beta$ 的距离是

$$
d=|\beta-x|
$$

因为 $\ell_2$ 是 $y=f(x)$ 的渐近线, 那么

$$
\lim _{x \rightarrow \pm \beta} f(x)= \pm \infty
$$

反之, 若上式成立, 则 $\ell_2$ 为 $y=f(x)$ 的一条渐近线.
例如, 对于 $y=\frac{1}{x}$, 当 $x \rightarrow 0, y \rightarrow \pm \infty$, 故 $x=0$ 是 $y=\frac{1}{x}$ 的一条渐近线.

#### 任意渐近线及其求法
设直线 $\ell_3: y=k x+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线, 曲线上任意一点 $P(x, f(x))$ 到直线 $\ell_3$ 的距离是

$$
d=\left|\frac{k x+b-f(x)}{\sqrt{1+k^2}}\right|
$$

因为 $\ell_3$ 是渐近线, 所以当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时, $d \rightarrow 0$, 即

$$
k x+b-f(x) \rightarrow 0
$$

我们必须用上式求出 $k, b$, 才能确定 $\ell_3$. 由于当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时, $\frac{1}{x} \rightarrow 0$, 所以

$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left[k+\frac{b}{x}-\frac{f(x)}{x}\right] & =\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{1}{x}[k x+b-f(x)] \\
& =\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{1}{x} \cdot \lim _{x \rightarrow \pm \infty}[k x+b-f(x)]=0
\end{aligned}
$$

由于 $b$ 是常数, 故有

$$
\begin{aligned}
k & =\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \quad(\text { 渐近线方向 }) \\
b & =\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-k x]
\end{aligned}
$$

上面给出了代数上的渐近线定义，我们准备从几何上解释渐近线。

## 渐近线的种类
函数的渐近线包括三种：水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线。函数的渐近线在描述函数曲线中有重要的作用，在考研考试中，经常以小题的形式出现。直接问斜渐近线的方程表达式或者求给定函数的总渐近线条数。

### 渐近线的求法

**水平浙近线:** 若 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b$ 或 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$ ，其中 $b$ 为常数，则称 $y=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线；

**铅直浙近线:** 若 $\lim _{x \rightarrow c^{-}} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow c^{+}} f(x)$ 至少有一个为无穷大, 则称 $x=c$ 为曲线 $y=f(x)$ 的铅直渐近线；

**斜浙近线:** 若 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=k$ 存在且不为零, 同时 $\lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-k x]=b$ 也存在（或 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=k$存在且不为零, 同时 $\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-k x]=b$ 存在), 则称 $y=k x+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 斜渐近线.

## 水平渐近线

#### 情况1：$x \to \infty$ 时，$f(x)$ 极限等于A

极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 表明当$|x|$无限增大时，对应的函数值 $f(x)$ 与数 值$A$ 无限接近（注意：这里的$x \to \infty$包括 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$。
几何上描述为: 当曲线 $y=f(x)$ 沿 $x$ 轴正、负向伸展到无穷 远时，曲线上的点与直线 $y=A$ 上的点无限接近，也就是直线 $y=f(x)$ 为曲线 的水平渐近线 (见图2-55).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212287e96c5f.png)

#### 情况2：$x \to +\infty$ 时，$f(x)$ 极限等于A，其几何图形如下：
当 $x \to +\infty$ ,$f(x)=A$，（也就是此时$f(x)$有极限值）而  $x \to -\infty$  则没有极限值
 ![图片](/uploads/2024-10/b2e3f4.jpg)
此时会得到一条渐近线。

#### 情况3：$x \to -\infty$ 时，$f(x)$ 极限等于A，其几何图形如下：
当 $x \to -\inft

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