函数图形的描绘

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 50 次更新导出Word

对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系.       在中学阶段，我们利用描点法作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等，使得曲线的单调性、凹凸性等函数的一些重要性态难以准确显示出来.            本节我们要利用导数描绘函数  $y=f(x) $      的图形，其一般步骤如下.

第一步 确定函数 $f(x)$ 的定义域，研究函数特性，如奇偶性、周期性、有界性等， 求出函数的一阶导数 $f^{\prime}(x)$ 和二阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ ；
第二步 求出一阶导数 $f^{\prime}(x)$ 和二阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ 在函数定义域内的全部零点，并求出 函数 $f(x)$ 的间断点以及导数 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 不存在的点，用这些点把函数定义域划分 成若干个部分区间；
第三步 确定在这些部分区间内 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 的符号，并由此确定函数的增减性和 凹凸性、极值点和拐点；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；
第五步 算出 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面 上定出图形上相应的点，有时还需适当补充一些辅助作图点（如与坐标轴的交点和 曲线的端点等），然后根据第三步、第四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出 函数的图形.

例19 作函数 $f(x)=x^3-x^2-x+1$ 的图形.
解 定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 无奇偶性及周期性.

$$
f^{\prime}(x)=(3 x+1)(x-1), f^{\prime \prime}(x)=2(3 x-1) .
$$

令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\frac{1}{3}$ 或 $x=1$ ，令 $f^{\prime \prime}(x)=0$, 得 $x=\frac{1}{3}$. 列表如表2-3所示.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212285b0631c.png)
补充点: $A(1,0), B(0,1), C\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{8}\right)$. 综合作出图形，如图2-59所示.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228a4dccd2.png)

例20 作函数 $f(x)=\frac{4(x+1)}{x^2}-2$ 的图形.
解 $D: x \neq 0$, 非奇非偶函数，且无对称性.

$$
f^{\prime}(x)=-\frac{4(x+2)}{x^3}, f^{\prime \prime}(x)=\frac{8(x+3)}{x^4} .
$$

令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-2$; 令 $f^{\prime \prime}(x)=0$, 得 $x=-3$. 列表如表2-3所示. $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{4(x+1)}{x^2}-2\right]=-2$, 得水平渐近线 $y=-2$; $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{4(x+1)}{x^2}-2\right]=+\infty$, 得铅直渐近线 $x=0$.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212287d3c864.png)
补充点: $(1-\sqrt{3}, 0),(1+\sqrt{3}, 0) ; A(-1,-2), B(1,6), C(2,1)$. 作出图形，如图2-60所示.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212284881dc9.png)

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