最后更新: 2024-10-01 16:09 查看: 737 次反馈同步训练

函数图形的描绘

## 函数图形的描绘
对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系.       在中学阶段，我们利用描点法作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等，使得曲线的单调性、凹凸性等函数的一些重要性态难以准确显示出来.            本节我们要利用导数描绘函数  $y=f(x) $      的图形，其一般步骤如下.

第一步 确定函数 $f(x)$ 的定义域，研究函数特性，如奇偶性、周期性、有界性等， 求出函数的一阶导数 $f^{\prime}(x)$ 和二阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ ；
第二步 求出一阶导数 $f^{\prime}(x)$ 和二阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ 在函数定义域内的全部零点，并求出 函数 $f(x)$ 的间断点以及导数 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 不存在的点，用这些点把函数定义域划分 成若干个部分区间；
第三步 确定在这些部分区间内 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 的符号，并由此确定函数的增减性和 凹凸性、极值点和拐点；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；
第五步 算出 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面 上定出图形上相应的点，有时还需适当补充一些辅助作图点（如与坐标轴的交点和 曲线的端点等），然后根据第三步、第四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出 函数的图形.

## 函数作图举例
`例` 作函数 $f(x)=x^3-x^2-x+1$ 的图形.
解 定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 无奇偶性及周期性.

$$
f^{\prime}(x)=(3 x+1)(x-1), f^{\prime \prime}(x)=2(3 x-1) .
$$

令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\frac{1}{3}$ 或 $x=1$ ，令 $f^{\prime \prime}(x)=0$, 得 $x=\frac{1}{3}$. 列表如表2-3所示.

![图片](/up

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