最后更新: 2024-10-01 16:12 查看: 390 次反馈同步训练

函数的最大值与最小值

## 函数的最大值与最小值
在实际工程中常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”……这类问题可归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值、最小值问题(设计最佳方案)。该类问题的难点在于， 如何利用已知的信息，建立既符合实际又易运算的函数(模型).在 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=307 介绍了函数极值的意义。

极值的概念是局部性的，是描述函数在某一点邻域内的性态. 这一节研究函数, 在一个区间上的最大值、最小值问题. 由闭区间上连续函数的性质知，若   $f(x)$      在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)$    在 $[a,b]$        上一定取得最大值和最小值.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228eb3cc96.png)

从数学的角度看问题，可以由下列过程求最大值和最小值.
(1) 找出 $(a, b)$ 内所有驻点及不可导点 $x_i(i=1,2, \cdots, m)$
(2) 比较 $f\left(x_i\right)(i=1,2, \cdots, m)$ 及 $f(a)$ 与 $f(b)$ 的大小；
(3) 最大值 $\quad M=\max \left\{f\left(x_1\right), f\left(x_2\right), \cdots, f\left(x_m\right), f(a), f(b)\right\}$ 最小值 $\quad m=\min \left\{f\left(x_1\right), f .\left(x_2\right), \cdots, f\left(x_m\right), f(a), f(b)\right\}$

`例` 求函数 $f(x)=x^4-2 x^2+5$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值和最小值.
解 由 $f^{\prime}(x)=4 x^3-4 x=4 x(x-1)(x+1)$
令 $f^{\prime}(x)=0$ 解得函数在 $(-2,2)$ 内的驻点 $x_1=-1 ，  x_2 = 0 , x_3=1$ 在驻点的函数 值为 $f(-1)=4 ; f(0)=5 \quad f(1)=4$
在端点的函数值为  $f(-2)=f(2)=13 $，
比较上面5个点，可得 最大值为 $f(2)=f(-2)=13$,最下值为$f(1)=f(-1)=4$

`例` 求函数 $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值和最小值.
解 由 $f^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot\left(1+x^2\right)-x \cdot(2 x)}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{(1-x)(1+x)}{\left(1+x^2\right)^2}$
令 $f^{\prime}(x)=0$ 解得函数在 $(0,2)$ 内的驻点为 $x=1$ 在驻点的函数值为 $f(1)=\frac{1}{2}$ ， 在端点的函数值为 $f(0)=0 ， f(2)=\frac{2}{5}$ ，故在区间 $[-2,2]$ 上的最大值为 $f(1)=\frac{1}{2}$ 最小值为 $f(0)=0$.

## 极值举例
若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有唯一驻点，且此驻点为极大 (小) 值，则此极大 (小) 值 必为最大 (小) 值.

`例` 由直线 $y=0, x=8$ 及 抛物线 $y=x^2$ 围成一个曲边三角形，在曲边 $y=x^2$ 上求一点，使曲线在该点处的切线与直线 $y=0$ 及 $x=8$ 所围成的三角形面积最大.

解 设 $P\left(x_0, y_0\right)$ 为抛物线 $y=x^2$ 上任意一点，该点处的切线斜率 $k=2 x_0$, 过该 点的切线为 $y-y_0=2 x_0\left(x-x_0\right)$ 即 $y=2 x_0 x-y_0$ 则此切线与 $x$ 轴的交点为 $A\left(\frac{x_0}{2}, 0\right)$ 与 直线 $x=8$ 的交点为 $B\left(0,16 x_0-x_0^2\right)$ (见图2-62)

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