最后更新: 2024-10-01 16:30 查看: 605 次反馈刷题

快速求方程的近似解

## 快速求方程的近似解--牛顿迭代法

牛顿迭代法的基本思想是通过不断使用切线来逼近函数的根. 给定一个初始近似解 $\theta$, 通过计算该点处函数的斜率 (导数) 来构建切线，并找到该切线与 x 轴的交点，从而得到一个新的近似解 .这个过程不断重复，直到找到满足精度要求的近似解或达到迭代次数的限制.

牛顿迭代法的迭代公式如下:

$$
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)}
$$

其中：
- $x_n$ 是第 $n$ 次迭代的近似解；
- $f\left(x_n\right)$ 是函数在 $x_n$ 处的值;
- $f^{\prime}\left(x_n\right)$ 是函数在 $x_n$ 处的导数值.

当选取的初始值适当时，牛顿迭代法可以使结果快速向解靠拢.

![图片](/uploads/2024-10/fbed8f.jpg){width=300px}

## 二分法

数学基础：对于连续函数 $f(x)$ 构成的方程： $f(x)=0$ ，如果在区间 $[a, b]$ 上满足: $f(a) f(b)<0$ ，则区间 $[a, b]$ 内至少存在一点 $\epsilon$ ，使得 $f(\epsilon)=0$ 。

基本思想：取区间中点 $ c=\frac{a+b}{2}$ ，如果 $f(a) f(c)<0$ ，则根位于区间 $[a, c]$ 内；否则根位于区间 $[c, b]$ 内。对根存在的区间继续取中点，以此类推，直到当前根（cur_root）的函数值小于可接受误差为止。

二分法 是一种求解方程近似根的方法。对于一个函数，使用二分法求 近似解的时候，我们先设定一个迭代区间（在这个题目上，我们之后给出了的两个初值决定的区间），区间两端自变量 的值对应的 值是异号的，之后我们会计算出两端的中点位置所对应的，然后更新我们的迭代区间，确保对应的迭代区间的两端的值对应的值还会是异号的。

重复这个过程直到我们某一次中点值对应的（题目中可以直接用 EPSILON）就可以将这个作为近似解返回给 main 函数了。

上面所示的一个迭代过程的第一次的迭代区间是，取中点，然后第二次的迭代区间是，再取中点 ，然后第三次的迭代区间是，然后取，然后第四次的迭代区间是，再取红色中点，我们得到发现 的值已经小于，输出 作为近似解。

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