通量与散度

日期: 2023-01-01 17:30 查看: 66 次

设给定一向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$, 其中函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，则 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \mid\left(x, y, v, x_0\right)$ 称为向 量场 $\boldsymbol{A}$ 在点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的散度，记作 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}\left(x_0, y_0, z_0\right)$.
一般地， $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 就表示 $\boldsymbol{A}$ 在场中任一点 $(x, y, z)$ 处的散度.
第二类曲面积分 $\Phi=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 称为向量场 $\boldsymbol{A}$ 向 $\Sigma$ 那一侧穿 过曲面 $S$ 的通量.
通量的向量形式是: $\Phi=\iint_{\Sigma} A \cdot n \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma} A_n \mathrm{~d} S$ ，
其中 $n$ 表示是 $\Sigma$ 一侧的单位法向量， $A_l$ 表示向量 $A$ 在曲面 $\Sigma$ 的外法线上的 投影.
对于向量场 $A$ ，若我们将这里的 $\Sigma$ 看作是高斯公式中区域 $\Omega$ 的边界 (闭) 曲面，且按高斯公式， $\Sigma$ 取外侧，则有

$$
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d} S ，
$$

右端表示在单位时间内离开区域 $\Omega$ 的流量.
我们假设流体是稳定流动的不可压缩的， 因此在流体离开区域 $\Omega$ 的同时，就应 该有 $\Omega$ 内部产生流体的 “源头" 产生出同样多的流体来补充. 因此高斯公式的 左端可解释为在 $\Omega$ 内的源头在单位时间内所产生的流量.
设 $\boldsymbol{A}=(P, Q, R)$ ，记 $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$ ，散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=\nabla \cdot \boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ ， 高斯公式可表示为

$$
\iiint_{\Omega} \operatorname{div} A \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma} \boldsymbol{A}_n \mathrm{~d} S .
$$

例 14 求向量场 $r=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的通量
(1) 穿过圆雉 $x^2+y^2 \leq z^2(0 \leq z \leq h)$ 的底(向上);
（2）穿过此圆雉的侧表面（向外）.
解 设 $S_1, S_2$ 及 $S$ 分别为此圆雉的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的通 量

$$
Q=\iint_{S^{\star}} r \cdot \mathbf{d} S=\iiint_V d i v r \mathrm{~d} v=3 \iiint_V \mathrm{~d} v=\pi h^3 .
$$

(1) 穿过底面向上的流量为 $Q_1=\iint_{S^{+}} r \cdot \mathbf{d} S=\iint_{\substack{x^2+y^2 \leq z^2 \\+=h}} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{x^2+y^2 \leq z^2} h \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi h^3$.
（2）穿过侧表面向外的流量为 $Q_2=Q-Q_1=0$.

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